Номер 183, страница 43 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m_1 = 1,0$ кг

$m_2 = 2,0$ кг

$h = 0,50$ м

Найти:

$H$ - ?

Решение:

Решение задачи можно разбить на два этапа. Первый этап — это совместное движение грузов под действием силы тяжести до момента, когда больший груз ($m_2$) коснется пола. Второй этап — движение меньшего груза ($m_1$) по инерции вверх после того, как больший груз остановился.

1. Движение системы до касания грузом $m_2$ пола.

Воспользуемся законом сохранения механической энергии для системы из двух грузов. Уровень пола примем за нулевой уровень потенциальной энергии.

В начальный момент времени, когда систему отпускают, груз $m_1$ находится на полу (его высота равна 0), а груз $m_2$ — на высоте $h$. Начальная скорость системы равна нулю. Начальная полная механическая энергия системы $E_{нач}$ равна:

$E_{нач} = m_1 g \cdot 0 + m_2 g h + \frac{m_1 \cdot 0^2}{2} + \frac{m_2 \cdot 0^2}{2} = m_2 g h$

В момент, когда груз $m_2$ достигает пола, он опускается на расстояние $h$. Соответственно, груз $m_1$ поднимается на высоту $h$. Оба груза в этот момент имеют одинаковую по модулю скорость $v$. Конечная полная механическая энергия системы $E_{кон}$ на этом этапе равна:

$E_{кон} = m_1 g h + m_2 g \cdot 0 + \frac{m_1 v^2}{2} + \frac{m_2 v^2}{2} = m_1 g h + \frac{(m_1 + m_2)v^2}{2}$

По закону сохранения энергии $E_{нач} = E_{кон}$:

$m_2 g h = m_1 g h + \frac{(m_1 + m_2)v^2}{2}$

Из этого уравнения выразим квадрат скорости $v^2$:

$(m_2 - m_1) g h = \frac{(m_1 + m_2)v^2}{2}$

$v^2 = \frac{2(m_2 - m_1)gh}{m_1 + m_2}$

2. Движение груза $m_1$ по инерции.

После того как груз $m_2$ коснулся пола, нить ослабевает, и груз $m_1$ продолжает движение вверх по инерции. В этот момент он находится на высоте $h$ и имеет начальную скорость $v$. Он будет подниматься до тех пор, пока его скорость не станет равной нулю. Максимальная высота подъема $H$ будет складываться из высоты $h$ и дополнительной высоты подъема $\Delta h$.

Снова применим закон сохранения энергии, но теперь только для груза $m_1$. Его начальная энергия (в момент отрыва от системы) на высоте $h$ со скоростью $v$ равна:

$E_{1, нач} = m_1 g h + \frac{m_1 v^2}{2}$

В верхней точке на максимальной высоте $H$ его скорость равна нулю, поэтому его конечная энергия:

$E_{1, кон} = m_1 g H$

Приравниваем энергии: $E_{1, нач} = E_{1, кон}$

$m_1 g h + \frac{m_1 v^2}{2} = m_1 g H$

Сократим на $m_1 g$:

$h + \frac{v^2}{2g} = H$

Подставим в это уравнение найденное ранее выражение для $v^2$:

$H = h + \frac{1}{2g} \cdot \frac{2(m_2 - m_1)gh}{m_1 + m_2} = h + \frac{(m_2 - m_1)h}{m_1 + m_2}$

Приведем к общему знаменателю:

$H = h \left( 1 + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) = h \left( \frac{m_1 + m_2 + m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) = h \frac{2m_2}{m_1 + m_2}$

Теперь подставим числовые значения:

$H = 0,50 \, \text{м} \cdot \frac{2 \cdot 2,0 \, \text{кг}}{1,0 \, \text{кг} + 2,0 \, \text{кг}} = 0,50 \, \text{м} \cdot \frac{4,0}{3,0} = \frac{2,0}{3,0} \, \text{м} \approx 0,67 \, \text{м}$

Ответ: максимальная высота, на которую поднимется меньший груз, составляет приблизительно $0,67$ м.