Номер 181, страница 43 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m_1 = 7,0$ кг
$m_2 = 11$ кг
$h = 10$ см
$v_0 = 0$ м/с

Перевод в систему СИ:
$h = 0,10$ м

Найти:

$\Delta t$ - ?

Решение:

На гири действуют сила тяжести ($m_1g$ и $m_2g$) и сила натяжения шнура $T$. Поскольку шнур и блок невесомы и трение отсутствует, сила натяжения $T$ одинакова для обеих гирь. Система начнет движение в сторону более тяжелой гири. Гиря $m_2$ будет опускаться, а гиря $m_1$ — подниматься с одинаковым по модулю ускорением $a$.
Запишем второй закон Ньютона для каждой гири в проекции на вертикальную ось. Направим ось OY вверх.
Для более легкой гири ($m_1$):
$T - m_1g = m_1a$
Для более тяжелой гири ($m_2$), которая движется вниз (проекция ускорения на ось OY будет $-a$):
$T - m_2g = m_2(-a)$ или $T - m_2g = -m_2a$
Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} T - m_1g = m_1a \\ T - m_2g = -m_2a \end{cases}$
Чтобы найти ускорение $a$, выразим $T$ из первого уравнения ($T = m_1a + m_1g$) и подставим во второе:
$(m_1a + m_1g) - m_2g = -m_2a$
$m_1a + m_2a = m_2g - m_1g$
$a(m_1 + m_2) = g(m_2 - m_1)$
Отсюда ускорение системы равно:
$a = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}g$
Подставим числовые значения, приняв $g \approx 9,8$ м/с²:
$a = \frac{11 \text{ кг} - 7,0 \text{ кг}}{7,0 \text{ кг} + 11 \text{ кг}} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = \frac{4,0}{18} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 2,18 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$
Движение гирь является равноускоренным и начинается из состояния покоя ($v_0=0$). Высота $h$, на которую поднимется легкая гиря за время $\Delta t$, определяется по формуле:
$h = v_0\Delta t + \frac{a(\Delta t)^2}{2} = \frac{a(\Delta t)^2}{2}$
Из этой формулы выразим время $\Delta t$:
$(\Delta t)^2 = \frac{2h}{a}$
$\Delta t = \sqrt{\frac{2h}{a}}$
Подставим числовые значения:
$\Delta t = \sqrt{\frac{2 \cdot 0,10 \text{ м}}{2,18 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}} \approx \sqrt{0,0917} \text{ с} \approx 0,303 \text{ с}$
Округлим результат до двух значащих цифр, так как исходные данные даны с такой точностью.

Ответ: $\Delta t \approx 0,30$ с.