Номер 174, страница 42 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$h = 4,0$ м

$b = 9,0$ м

$\mu_1 = 0,20$

$\mu_2 = 0,60$

$v_0 = 0$ м/с (начальная скорость)

$v_k = 0$ м/с (конечная скорость)

$g = 9,8$ м/с² (ускорение свободного падения)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$\frac{l_1}{l_2} - ?$

$\Delta t - ?$

Решение:

При каком отношении длин $\frac{l_1}{l_2}$ металлической и деревянной частей плоскости брусок остановится у ее основания?

Воспользуемся законом сохранения энергии с учетом работы сил трения. Так как начальная и конечная скорости бруска равны нулю, изменение кинетической энергии равно нулю ($\Delta E_k = 0$). Следовательно, работа, совершенная силой тяжести, равна по модулю работе, совершенной силами трения.

$A_g = A_{fr}$

Работа силы тяжести при спуске с высоты $h$ равна: $A_g = mgh$.

Работа силы трения складывается из работы на металлической ($A_{fr1}$) и деревянной ($A_{fr2}$) частях плоскости:

$A_{fr} = A_{fr1} + A_{fr2} = F_{fr1}l_1 + F_{fr2}l_2$

Сила трения на каждом участке равна $F_{fr} = \mu N$, где $N$ – сила нормальной реакции. Для наклонной плоскости $N = mg \cos\alpha$, где $\alpha$ – угол наклона плоскости.

$A_{fr} = \mu_1 mg \cos\alpha \cdot l_1 + \mu_2 mg \cos\alpha \cdot l_2 = mg \cos\alpha (\mu_1 l_1 + \mu_2 l_2)$

Приравнивая работы, получаем:

$mgh = mg \cos\alpha (\mu_1 l_1 + \mu_2 l_2)$

$h = \cos\alpha (\mu_1 l_1 + \mu_2 l_2)$

Из геометрии задачи мы знаем, что $\tan\alpha = \frac{h}{b}$. Также, $h = (l_1+l_2)\sin\alpha$. Подставим это выражение для $h$ в уравнение выше:

$(l_1+l_2)\sin\alpha = \cos\alpha (\mu_1 l_1 + \mu_2 l_2)$

Разделим обе части на $\cos\alpha$:

$(l_1+l_2)\tan\alpha = \mu_1 l_1 + \mu_2 l_2$

Подставим $\tan\alpha = \frac{h}{b}$:

$(l_1+l_2)\frac{h}{b} = \mu_1 l_1 + \mu_2 l_2$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с $l_1$ и $l_2$:

$l_1 \frac{h}{b} - \mu_1 l_1 = \mu_2 l_2 - l_2 \frac{h}{b}$

$l_1 (\frac{h}{b} - \mu_1) = l_2 (\mu_2 - \frac{h}{b})$

Отсюда находим искомое отношение:

$\frac{l_1}{l_2} = \frac{\mu_2 - h/b}{h/b - \mu_1}$

Подставим числовые значения:

$\frac{l_1}{l_2} = \frac{0,60 - 4,0/9,0}{4,0/9,0 - 0,20} = \frac{0,60 - 4/9}{4/9 - 0,20} = \frac{ (5,4 - 4)/9 }{ (4 - 1,8)/9 } = \frac{1,4}{2,2} = \frac{14}{22} = \frac{7}{11}$

$\frac{l_1}{l_2} \approx 0,64$

Ответ: Отношение длин металлической и деревянной частей должно быть $\frac{l_1}{l_2} = \frac{7}{11} \approx 0,64$.

В течение какого промежутка времени $\Delta t$ будет скользить брусок по плоскости?

Общее время движения $\Delta t$ равно сумме времен движения по металлической ($t_1$) и деревянной ($t_2$) частям: $\Delta t = t_1 + t_2$.

Для нахождения времен необходимо определить ускорения на каждом участке. Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, направленную вдоль наклонной плоскости:

Ускорение на металлической части: $a_1 = g(\sin\alpha - \mu_1\cos\alpha)$

Ускорение на деревянной части: $a_2 = g(\sin\alpha - \mu_2\cos\alpha)$

Найдем тригонометрические функции угла $\alpha$. Полная длина плоскости $l = \sqrt{h^2+b^2} = \sqrt{(4,0)^2 + (9,0)^2} = \sqrt{16+81} = \sqrt{97} \approx 9,85$ м.

$\sin\alpha = \frac{h}{l} = \frac{4,0}{\sqrt{97}}$

$\cos\alpha = \frac{b}{l} = \frac{9,0}{\sqrt{97}}$

Вычислим ускорения:

$a_1 = 9,8 \cdot (\frac{4,0}{\sqrt{97}} - 0,20 \cdot \frac{9,0}{\sqrt{97}}) = \frac{9,8}{\sqrt{97}} (4,0 - 1,8) = \frac{9,8 \cdot 2,2}{\sqrt{97}} \approx 2,19$ м/с²

$a_2 = 9,8 \cdot (\frac{4,0}{\sqrt{97}} - 0,60 \cdot \frac{9,0}{\sqrt{97}}) = \frac{9,8}{\sqrt{97}} (4,0 - 5,4) = \frac{9,8 \cdot (-1,4)}{\sqrt{97}} \approx -1,39$ м/с²

Найдем длины участков $l_1$ и $l_2$, используя найденное отношение $\frac{l_1}{l_2} = \frac{7}{11}$ и полную длину $l = l_1 + l_2 = \sqrt{97}$ м.

$l_1 = \frac{7}{18}l = \frac{7}{18}\sqrt{97} \approx 3,83$ м

$l_2 = \frac{11}{18}l = \frac{11}{18}\sqrt{97} \approx 6,02$ м

Время движения по первому участку ($v_0 = 0$): $l_1 = \frac{a_1 t_1^2}{2}$.

$t_1 = \sqrt{\frac{2l_1}{a_1}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 3,83}{2,19}} \approx \sqrt{3,50} \approx 1,87$ с.

Скорость бруска в конце первого участка: $v_1 = a_1 t_1 = 2,19 \cdot 1,87 \approx 4,09$ м/с.

Время движения по второму участку (от скорости $v_1$ до остановки $v_k = 0$): $v_k = v_1 + a_2 t_2$.

$t_2 = \frac{v_k - v_1}{a_2} = \frac{0 - 4,09}{-1,39} \approx 2,94$ с.

Общее время скольжения:

$\Delta t = t_1 + t_2 = 1,87 \text{ с} + 2,94 \text{ с} = 4,81$ с.

Ответ: Брусок будет скользить по плоскости в течение $\Delta t \approx 4,8$ с.