Номер 167, страница 41 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m = 0,20$ т

$F = 1,0$ кН

$\alpha = 30^\circ$

$\mu = 0,050$

Перевод в систему СИ:

$m = 0,20 \cdot 1000 = 200$ кг

$F = 1,0 \cdot 1000 = 1000$ Н

Найти:

$a$ — ?

Решение:

На сани действуют четыре силы: сила тяжести ($m\vec{g}$), направленная вертикально вниз; сила реакции опоры ($\vec{N}$), направленная перпендикулярно опоре вверх; приложенная сила ($\vec{F}$), направленная под углом $\alpha$ к горизонту; и сила трения скольжения ($\vec{F}_{тр}$), направленная горизонтально против движения.

Согласно второму закону Ньютона, векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на его ускорение:

$m\vec{a} = \vec{F} + m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр}$

Для решения задачи введем систему координат: ось $OX$ направим горизонтально по направлению движения саней, а ось $OY$ — вертикально вверх.

Спроецируем уравнение второго закона Ньютона на эти оси:

Проекция на ось $OX$: $ma = F_x - F_{тр}$

Проекция на ось $OY$: $0 = N + F_y - mg$

Здесь $F_x$ и $F_y$ — горизонтальная и вертикальная составляющие силы $F$.

$F_x = F \cos(\alpha)$

$F_y = F \sin(\alpha)$

Из уравнения для оси $OY$ выразим силу нормальной реакции опоры $N$:

$N = mg - F_y = mg - F \sin(\alpha)$

Сила трения скольжения связана с силой нормальной реакции опоры через коэффициент трения $\mu$:

$F_{тр} = \mu N = \mu (mg - F \sin(\alpha))$

Подставим выражения для $F_x$ и $F_{тр}$ в уравнение для оси $OX$:

$ma = F \cos(\alpha) - \mu (mg - F \sin(\alpha))$

Выразим ускорение $a$:

$a = \frac{F \cos(\alpha) - \mu (mg - F \sin(\alpha))}{m}$

Подставим числовые значения в полученную формулу. Примем ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$.

$a = \frac{1000 \cdot \cos(30^\circ) - 0,050 \cdot (200 \cdot 9,8 - 1000 \cdot \sin(30^\circ))}{200}$

Поскольку $\cos(30^\circ) \approx 0,866$ и $\sin(30^\circ) = 0,5$, получаем:

$a = \frac{1000 \cdot 0,866 - 0,050 \cdot (200 \cdot 9,8 - 1000 \cdot 0,5)}{200}$

$a = \frac{866 - 0,050 \cdot (1960 - 500)}{200}$

$a = \frac{866 - 0,050 \cdot 1460}{200}$

$a = \frac{866 - 73}{200}$

$a = \frac{793}{200} = 3,965 \text{ м/с}^2$

Исходные данные в условии задачи даны с двумя значащими цифрами, поэтому округлим результат до двух значащих цифр.

$a \approx 4,0 \text{ м/с}^2$

Ответ: модуль ускорения саней $a \approx 4,0 \text{ м/с}^2$.