Номер 173, страница 42 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:
Угол наклона горы: $\alpha = 10^\circ$
Соотношение времени спуска $t_2$ и времени подъема $t_1$: $t_2 = 2t_1$

Найти:
Коэффициент трения $\mu$.

Решение:
Рассмотрим движение камня по наклонной плоскости. Пусть $S$ — расстояние, которое камень проходит по склону вверх до остановки. Это же расстояние он проходит при соскальзывании вниз.
Движение в обе стороны является равноускоренным. Применим второй закон Ньютона для обеих фаз движения.

1. Движение вверх (подъем).
Направим ось OX вдоль наклонной плоскости вверх. На камень действуют составляющая силы тяжести, направленная вдоль плоскости вниз ($mg\sin\alpha$), и сила трения ($F_{тр}$), также направленная вниз. Ускорение $a_1$ направлено против движения.
Согласно второму закону Ньютона:
$ma_1 = mg\sin\alpha + F_{тр}$
Сила трения определяется как $F_{тр} = \mu N$, где $N$ — сила нормальной реакции опоры. Из условия равновесия сил в направлении, перпендикулярном плоскости, $N = mg\cos\alpha$.
Таким образом, $F_{тр} = \mu mg\cos\alpha$.
Подставляем в уравнение движения:
$ma_1 = mg\sin\alpha + \mu mg\cos\alpha$
Модуль ускорения при подъеме (замедления):
$a_1 = g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)$
Пройденный путь $S$ за время $t_1$ из состояния с начальной скоростью до полной остановки выражается формулой: $S = \frac{a_1 t_1^2}{2}$.

2. Движение вниз (спуск).
Камень начинает движение из состояния покоя. Теперь составляющая силы тяжести $mg\sin\alpha$ направлена вниз, а сила трения $F_{тр}$ — вверх, препятствуя движению.
Уравнение движения для спуска:
$ma_2 = mg\sin\alpha - F_{тр}$
$ma_2 = mg\sin\alpha - \mu mg\cos\alpha$
Модуль ускорения при спуске:
$a_2 = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$
Пройденный путь $S$ за время $t_2$ из состояния покоя: $S = \frac{a_2 t_2^2}{2}$.

3. Нахождение коэффициента трения.
Поскольку путь в обоих случаях одинаков, мы можем приравнять два выражения для $S$:
$\frac{a_1 t_1^2}{2} = \frac{a_2 t_2^2}{2}$
$a_1 t_1^2 = a_2 t_2^2$
По условию задачи, $t_2 = 2t_1$. Подставим это соотношение:
$a_1 t_1^2 = a_2 (2t_1)^2$
$a_1 t_1^2 = 4a_2 t_1^2$
Сократив на $t_1^2$, получаем соотношение между ускорениями:
$a_1 = 4a_2$
Теперь подставим выражения для $a_1$ и $a_2$:
$g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha) = 4g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$
Сокращаем на $g$:
$\sin\alpha + \mu\cos\alpha = 4(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$
$\sin\alpha + \mu\cos\alpha = 4\sin\alpha - 4\mu\cos\alpha$
Сгруппируем слагаемые, содержащие $\mu$:
$\mu\cos\alpha + 4\mu\cos\alpha = 4\sin\alpha - \sin\alpha$
$5\mu\cos\alpha = 3\sin\alpha$
Отсюда выражаем коэффициент трения $\mu$:
$\mu = \frac{3\sin\alpha}{5\cos\alpha} = \frac{3}{5}\tan\alpha$

4. Вычисление.
Подставим значение угла $\alpha = 10^\circ$:
$\mu = \frac{3}{5}\tan(10^\circ) \approx 0.6 \cdot 0.1763 \approx 0.1058$
Округляя, получаем $\mu \approx 0.106$.

Ответ: коэффициент трения $\mu \approx 0.106$.