Номер 172, страница 41 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m = 0,10 \text{ т}$

$\alpha = 30^\circ$

$F = 1,5 \text{ кН}$

$\mu = 0,10$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$.

Перевод в систему СИ:

$m = 0,10 \text{ т} = 0,10 \cdot 1000 \text{ кг} = 100 \text{ кг}$

$F = 1,5 \text{ кН} = 1,5 \cdot 1000 \text{ Н} = 1500 \text{ Н}$

Найти:

$a$

Решение:

Для решения задачи применим второй закон Ньютона. Выберем систему координат, связанную с наклонной плоскостью: ось $OX$ направим вверх вдоль плоскости (в направлении движения тела), а ось $OY$ — перпендикулярно плоскости.

На тело действуют следующие силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз; сила реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно плоскости; горизонтальная сила $\vec{F}$; сила трения скольжения $\vec{F}_{\text{тр}}$, направленная против движения, то есть вниз вдоль наклонной плоскости.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

$m\vec{a} = m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F} + \vec{F}_{\text{тр}}$

Спроецируем это уравнение на оси координат. Учтем, что угол между горизонтальной силой $\vec{F}$ и осью $OX$ равен $\alpha$, а угол между силой тяжести $m\vec{g}$ и осью $OY$ также равен $\alpha$.

Проекция на ось $OY$:

$0 = N - mg \cos\alpha - F \sin\alpha$

Движения вдоль оси $OY$ нет, поэтому проекция ускорения на эту ось равна нулю. Из этого уравнения выразим модуль силы реакции опоры:

$N = mg \cos\alpha + F \sin\alpha$

Проекция на ось $OX$:

$ma = F \cos\alpha - mg \sin\alpha - F_{\text{тр}}$

Сила трения скольжения определяется как $F_{\text{тр}} = \mu N$. Подставим в эту формулу выражение для $N$:

$F_{\text{тр}} = \mu (mg \cos\alpha + F \sin\alpha)$

Теперь подставим полученное выражение для силы трения в уравнение для оси $OX$:

$ma = F \cos\alpha - mg \sin\alpha - \mu (mg \cos\alpha + F \sin\alpha)$

Из этого уравнения выразим ускорение $a$:

$a = \frac{F \cos\alpha - mg \sin\alpha - \mu mg \cos\alpha - \mu F \sin\alpha}{m}$

Сгруппируем слагаемые для удобства вычислений:

$a = \frac{F(\cos\alpha - \mu \sin\alpha) - mg(\sin\alpha + \mu \cos\alpha)}{m}$

Подставим числовые значения. Значения тригонометрических функций для угла $30^\circ$: $\sin 30^\circ = 0,5$; $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$.

$a = \frac{1500 \cdot (0,866 - 0,10 \cdot 0,5) - 100 \cdot 9,8 \cdot (0,5 + 0,10 \cdot 0,866)}{100}$

$a = \frac{1500 \cdot (0,866 - 0,05) - 980 \cdot (0,5 + 0,0866)}{100}$

$a = \frac{1500 \cdot 0,816 - 980 \cdot 0,5866}{100}$

$a = \frac{1224 - 574,868}{100}$

$a = \frac{649,132}{100} = 6,49132 \text{ м/с}^2$

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с точностью исходных данных), получаем:

$a \approx 6,5 \text{ м/с}^2$

Ответ: $a \approx 6,5 \text{ м/с}^2$.