Номер 168, страница 41 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$h = 10$ м

$\alpha = 30^\circ$

$v_0 = 0$ (тело начинает соскальзывать)

$g \approx 9.8$ м/с$^2$

Найти:

$\Delta t$ - ?

Решение:

На тело, соскальзывающее с гладкой (без трения) наклонной плоскости, действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно плоскости.

Согласно второму закону Ньютона, ускорение тела определяется равнодействующей всех сил. Для удобства выберем систему координат, в которой ось $Ox$ направлена вдоль наклонной плоскости вниз. Тогда движение тела будет происходить вдоль этой оси. Разложим силу тяжести на две составляющие: параллельную наклонной плоскости $F_x = mg \sin\alpha$ и перпендикулярную ей $F_y = mg \cos\alpha$. Ускорение телу придает только составляющая силы тяжести, параллельная плоскости.

Запишем второй закон Ньютона для проекции на ось $Ox$:

$ma = mg \sin\alpha$

Отсюда можем найти ускорение, с которым тело движется по наклонной плоскости:

$a = g \sin\alpha$

Длина наклонной плоскости $L$, по которой движется тело, связана с ее высотой $h$ и углом наклона $\alpha$ через тригонометрическое соотношение в прямоугольном треугольнике:

$\sin\alpha = \frac{h}{L}$

Следовательно, длина пути тела равна:

$L = \frac{h}{\sin\alpha}$

Поскольку тело начинает движение из состояния покоя ($v_0 = 0$), его движение является равноускоренным. Путь, пройденный телом за время $\Delta t$, описывается формулой:

$L = \frac{a(\Delta t)^2}{2}$

Теперь подставим в эту формулу ранее найденные выражения для длины $L$ и ускорения $a$:

$\frac{h}{\sin\alpha} = \frac{(g \sin\alpha)(\Delta t)^2}{2}$

Выразим из этого уравнения искомое время спуска $\Delta t$:

$(\Delta t)^2 = \frac{2h}{g \sin^2\alpha}$

$\Delta t = \sqrt{\frac{2h}{g \sin^2\alpha}} = \frac{1}{\sin\alpha}\sqrt{\frac{2h}{g}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\Delta t = \frac{1}{\sin(30^\circ)}\sqrt{\frac{2 \cdot 10 \text{ м}}{9.8 \text{ м/с}^2}} = \frac{1}{0.5}\sqrt{\frac{20}{9.8}} \text{ с} \approx 2 \sqrt{2.0408} \text{ с} \approx 2 \cdot 1.4286 \text{ с} \approx 2.857 \text{ с}$

Округлим результат до двух значащих цифр.

Ответ: $\Delta t \approx 2.9$ с.