Номер 186, страница 44 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m_1 = 3,0 \text{ кг}$

$m_2 = 2,0 \text{ кг}$

$\alpha = 30^\circ$

Наклонная плоскость гладкая (трения нет).

Нить и блок невесомые, трения в блоке нет.

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$.

Найти:

$a - ?$

$F_{упр} - ?$

$F_д - ?$

Решение:

На груз массой $m_1$, находящийся на наклонной плоскости, действуют три силы: сила тяжести $m_1\vec{g}$, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ и сила упругости (натяжения) нити $\vec{F}_{упр}$. На груз массой $m_2$, подвешенный на нити, действуют две силы: сила тяжести $m_2\vec{g}$ и сила упругости нити $\vec{F}_{упр}$. Так как нить нерастяжима и перекинута через идеальный блок, модули ускорения обоих грузов одинаковы ($a$), и сила натяжения нити по всей ее длине также одинакова ($F_{упр}$).

Определим направление движения системы. Сравним проекцию силы тяжести груза $m_1$ на наклонную плоскость и силу тяжести груза $m_2$.

Проекция силы тяжести $m_1$ на направление, параллельное наклонной плоскости: $F_{1x} = m_1g\sin\alpha = 3,0 \cdot 9,8 \cdot \sin30^\circ = 3,0 \cdot 9,8 \cdot 0,5 = 14,7 \text{ Н}$.

Сила тяжести груза $m_2$: $F_2 = m_2g = 2,0 \cdot 9,8 = 19,6 \text{ Н}$.

Поскольку $F_2 > F_{1x}$ ($19,6 \text{ Н} > 14,7 \text{ Н}$), груз $m_2$ будет опускаться, а груз $m_1$ будет подниматься вдоль наклонной плоскости. Ускорение $\vec{a}$ для груза $m_1$ будет направлено вверх вдоль наклонной плоскости, а для груза $m_2$ — вертикально вниз.

Запишем второй закон Ньютона для каждого груза в проекциях на оси.Для груза $m_1$ выберем ось $OX$, направленную вверх вдоль наклонной плоскости.$$F_{упр} - m_1g\sin\alpha = m_1a \quad (1)$$Для груза $m_2$ выберем ось $OY$, направленную вертикально вниз.$$m_2g - F_{упр} = m_2a \quad (2)$$

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $a$ и $F_{упр}$. Сложим уравнения (1) и (2), чтобы исключить $F_{упр}$:$$ (F_{упр} - m_1g\sin\alpha) + (m_2g - F_{упр}) = m_1a + m_2a $$$$ m_2g - m_1g\sin\alpha = (m_1 + m_2)a $$Отсюда выразим модуль ускорения $a$:$$ a = \frac{g(m_2 - m_1\sin\alpha)}{m_1 + m_2} $$Подставим числовые значения:$$ a = \frac{9,8 \cdot (2,0 - 3,0 \cdot \sin30^\circ)}{3,0 + 2,0} = \frac{9,8 \cdot (2,0 - 3,0 \cdot 0,5)}{5,0} = \frac{9,8 \cdot 0,5}{5,0} = 0,98 \text{ м/с}^2 $$

Теперь найдем модуль силы упругости $F_{упр}$. Выразим его из уравнения (2):$$ F_{упр} = m_2g - m_2a = m_2(g - a) $$Подставим числовые значения:$$ F_{упр} = 2,0 \cdot (9,8 - 0,98) = 2,0 \cdot 8,82 = 17,64 \text{ Н} $$С учетом значащих цифр, $F_{упр} \approx 18 \text{ Н}$.

Сила давления $F_д$ на ось блока равна по модулю равнодействующей двух сил натяжения нити, приложенных к блоку. Одна сила направлена вдоль наклонной плоскости, другая — вертикально вниз. Угол между этими двумя силами равен $\beta = 90^\circ - \alpha$.$$ \beta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ $$Модуль силы давления найдем по теореме косинусов для векторов:$$ F_д = \sqrt{F_{упр}^2 + F_{упр}^2 + 2F_{упр}F_{упр}\cos\beta} = \sqrt{2F_{упр}^2(1 + \cos\beta)} $$$$ F_д = F_{упр}\sqrt{2(1 + \cos60^\circ)} = F_{упр}\sqrt{2(1 + 0,5)} = F_{упр}\sqrt{3} $$Подставим значение $F_{упр}$:$$ F_д = 17,64 \cdot \sqrt{3} \approx 17,64 \cdot 1,732 \approx 30,555 \text{ Н} $$С учетом значащих цифр, $F_д \approx 31 \text{ Н}$.

Модуль ускорения $a$ грузов

Ответ: $a = 0,98 \text{ м/с}^2$.

Модуль силы упругости $F_{упр}$ нити

Ответ: $F_{упр} \approx 18 \text{ Н}$.

Модуль силы давления $F_д$ на ось блока

Ответ: $F_д \approx 31 \text{ Н}$.