Номер 193, страница 45 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Расстояние между Землей и Луной: $r = 60R$ (где $R$ — радиус Земли)
Отношение массы Земли к массе Луны: $k = \frac{M_З}{M_Л} = 81$

Найти:

Расстояние $l$ от центра Луны до материальной точки.

Решение:

Пусть $m$ — масса материальной точки, $M_З$ — масса Земли, а $M_Л$ — масса Луны. Материальная точка находится на прямой, соединяющей центры Земли и Луны. На эту точку действуют две силы гравитационного притяжения: со стороны Земли ($F_З$) и со стороны Луны ($F_Л$). Поскольку точка находится между Землей и Луной, эти силы направлены в противоположные стороны.

Согласно закону всемирного тяготения, модуль силы притяжения со стороны Земли равен:
$F_З = G \frac{M_З \cdot m}{(r-l)^2}$
где $G$ — гравитационная постоянная, а $(r-l)$ — расстояние от точки до центра Земли.

Модуль силы притяжения со стороны Луны равен:
$F_Л = G \frac{M_Л \cdot m}{l^2}$
где $l$ — искомое расстояние от точки до центра Луны.

По условию задачи, результирующая сила, действующая на точку, равна нулю. Это означает, что силы $F_З$ и $F_Л$ уравновешивают друг друга, то есть их модули равны:
$F_З = F_Л$
$G \frac{M_З \cdot m}{(r-l)^2} = G \frac{M_Л \cdot m}{l^2}$

Сократим одинаковые множители $G$ и $m$ в обеих частях уравнения:
$\frac{M_З}{(r-l)^2} = \frac{M_Л}{l^2}$

Из условия известно, что $M_З = k \cdot M_Л$, где $k = 81$. Подставим это соотношение в уравнение:
$\frac{k \cdot M_Л}{(r-l)^2} = \frac{M_Л}{l^2}$

Сократим массу Луны $M_Л$:
$\frac{k}{(r-l)^2} = \frac{1}{l^2}$

Преобразуем полученное выражение:
$k \cdot l^2 = (r-l)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку $l$ и $(r-l)$ являются расстояниями, они могут быть только положительными.
$\sqrt{k} \cdot l = r - l$

Теперь выразим искомую величину $l$:
$\sqrt{k} \cdot l + l = r$
$l(\sqrt{k} + 1) = r$
$l = \frac{r}{\sqrt{k} + 1}$

Подставим известные числовые значения $r = 60R$ и $k = 81$:
$l = \frac{60R}{\sqrt{81} + 1} = \frac{60R}{9 + 1} = \frac{60R}{10} = 6R$

Ответ: результирующая сила будет равна нулю на расстоянии $l = 6R$ от центра Луны (где $R$ — радиус Земли).