Номер 197, страница 46 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:
Высота спутника над поверхностью Земли $h = 400$ км
Для расчетов используем справочные данные:
Гравитационная постоянная $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \, \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$
Масса Земли $M_З \approx 6 \cdot 10^{24} \, \text{кг}$
Средний радиус Земли $R_З \approx 6400 \, \text{км}$

Перевод в систему СИ:
$h = 400 \, \text{км} = 400 \cdot 10^3 \, \text{м} = 4 \cdot 10^5 \, \text{м}$
$R_З = 6400 \, \text{км} = 6400 \cdot 10^3 \, \text{м} = 6.4 \cdot 10^6 \, \text{м}$

Найти:
Модуль скорости спутника $v$.

Решение:
Для того чтобы спутник двигался по круговой орбите, сила всемирного тяготения, действующая на него со стороны Земли, должна быть равна центростремительной силе, удерживающей спутник на орбите. Это является условием для первой космической скорости на данной высоте.

Запишем второй закон Ньютона для спутника на орбите:
$F_т = F_ц$
где $F_т$ — сила тяготения, а $F_ц$ — центростремительная сила.

Сила всемирного тяготения определяется по формуле:
$F_т = G \frac{M_З m}{r^2}$

Центростремительная сила выражается как:
$F_ц = \frac{m v^2}{r}$

Здесь $m$ — масса спутника, $M_З$ — масса Земли, $v$ — скорость спутника, а $r$ — радиус орбиты. Радиус орбиты складывается из радиуса Земли $R_З$ и высоты орбиты $h$ над поверхностью:
$r = R_З + h$

Приравнивая выражения для сил, получаем:
$G \frac{M_З m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

Сократим массу спутника $m$ и радиус $r$ в уравнении:
$G \frac{M_З}{r} = v^2$

Отсюда выразим скорость $v$:
$v = \sqrt{\frac{G M_З}{r}} = \sqrt{\frac{G M_З}{R_З + h}}$

Рассчитаем радиус орбиты:
$r = 6.4 \cdot 10^6 \, \text{м} + 4 \cdot 10^5 \, \text{м} = 6.8 \cdot 10^6 \, \text{м}$

Теперь подставим все значения в формулу для скорости и вычислим её:
$v = \sqrt{\frac{6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{6.8 \cdot 10^6}} = \sqrt{\frac{40.02 \cdot 10^{13}}{6.8 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{5.885 \cdot 10^7} \approx 7671.5 \, \text{м/с}$

Округляя, получаем скорость примерно $7.67 \, \text{км/с}$.

Ответ: $v \approx 7672 \, \text{м/с}$ (или $7.67 \, \text{км/с}$).