Номер 190, страница 45 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Найти:

Решение:

Рассмотрим движение тел в неинерциальной системе отсчета, связанной с лифтом. В этой системе на каждое тело, помимо реальных сил, действует сила инерции, направленная в сторону, противоположную ускорению лифта, то есть вертикально вниз. Величина силы инерции для тела массой $m_i$ равна $F_{ин} = m_i a$.

Таким образом, задача сводится к рассмотрению движения тел в поле с эффективным ускорением свободного падения $g' = g + a$.

1. Запишем второй закон Ньютона для бруска массой $M$ в проекциях на оси координат. Пусть ось OX направлена горизонтально вправо, а ось OY — вертикально вверх. Пусть система движется с ускорением $a_{отн}$ относительно лифта (брусок M вправо, груз m вниз).

На брусок $M$ действуют: сила тяжести $Mg$, сила инерции $Ma$ (обе вниз), сила нормальной реакции опоры $N$ (вверх), сила натяжения нити $T$ (вправо) и сила трения скольжения $F_{тр}$ (влево).

Проекция на ось OY:
$N - Mg - Ma = 0$ (так как по вертикали брусок не движется относительно стола)
Отсюда сила нормальной реакции опоры:
$N = Mg + Ma = M(g+a)$

Сила трения скольжения:
$F_{тр} = \mu N = \mu M(g+a)$

Проекция на ось OX:
$T - F_{тр} = M a_{отн}$ (1)

2. Запишем второй закон Ньютона для груза массой $m$. Направим ось для этого тела вертикально вниз.

На груз $m$ действуют: сила тяжести $mg$ (вниз), сила инерции $ma$ (вниз) и сила упругости пружины $F_{упр}$ (вверх).

$mg + ma - F_{упр} = m a_{отн}$
$m(g+a) - F_{упр} = m a_{отн}$ (2)

3. Сила упругости пружины по закону Гука равна $F_{упр} = k \Delta l$.
Поскольку нить и пружина невесомы, сила натяжения нити $T$ равна силе упругости пружины: $T = F_{упр} = k \Delta l$.

4. Подставим выражения для сил в уравнения (1) и (2):
$k \Delta l - \mu M(g+a) = M a_{отн}$ (1')
$m(g+a) - k \Delta l = m a_{отн}$ (2')

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $k$ и $a_{отн}$. Выразим $a_{отн}$ из каждого уравнения и приравняем полученные выражения.

Из (1'): $a_{отн} = \frac{k \Delta l - \mu M(g+a)}{M}$
Из (2'): $a_{отн} = \frac{m(g+a) - k \Delta l}{m}$

$\frac{k \Delta l - \mu M(g+a)}{M} = \frac{m(g+a) - k \Delta l}{m}$

Умножим обе части на $mM$, чтобы избавиться от знаменателей:
$m(k \Delta l - \mu M(g+a)) = M(m(g+a) - k \Delta l)$
$m k \Delta l - m \mu M(g+a) = M m(g+a) - M k \Delta l$

Соберем слагаемые с $k \Delta l$ в левой части, остальные — в правой:
$m k \Delta l + M k \Delta l = M m(g+a) + m \mu M(g+a)$
$k \Delta l (m+M) = mM(g+a)(1+\mu)$

Выразим искомую жесткость пружины $k$:
$k = \frac{mM(g+a)(1+\mu)}{\Delta l (m+M)}$

5. Подставим числовые значения и вычислим ответ:

$g+a = 9,8 \frac{м}{с^2} + 2,8 \frac{м}{с^2} = 12,6 \frac{м}{с^2}$

$k = \frac{0,40 \cdot 0,50 \cdot (12,6) \cdot (1+0,40)}{0,01 \cdot (0,40+0,50)} = \frac{0,20 \cdot 12,6 \cdot 1,4}{0,01 \cdot 0,90} = \frac{3,528}{0,009} = 392 \frac{Н}{м}$

Ответ: $k = 392 \frac{Н}{м}$.