Номер 188, страница 44 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Массы грузов: $m_1$, $m_2$.
Нити и блоки невесомы.
Трение отсутствует.
Нити нерастяжимы.

Найти:

Модули ускорений грузов: $a_1$, $a_2$.

Решение:

Введем ось OY, направленную вертикально вверх. Пусть $T$ – сила натяжения нити, которая перекинута через оба блока. Так как нить и блоки невесомы и трение отсутствует, сила натяжения одинакова по всей длине нити.

Рассмотрим силы, действующие на каждый груз, и запишем для них второй закон Ньютона в проекции на ось OY.

1. Для груза массой $m_1$:
На него действуют сила тяжести $m_1g$, направленная вниз, и сила натяжения нити $T$, направленная вверх.$T - m_1g = m_1a_{1y}$ (1)где $a_{1y}$ – проекция ускорения груза $m_1$ на ось OY.

2. Для груза массой $m_2$:
Этот груз прикреплен к оси подвижного блока. На систему "груз $m_2$ + подвижный блок" действуют сила тяжести $m_2g$, направленная вниз, и две силы натяжения нити $T$, направленные вверх (поскольку нить охватывает подвижный блок с двух сторон).$2T - m_2g = m_2a_{2y}$ (2)где $a_{2y}$ – проекция ускорения груза $m_2$ на ось OY.

3. Кинематическая связь ускорений:
Поскольку нить нерастяжима, ее длина постоянна. Если груз $m_2$ (вместе с подвижным блоком) переместится на расстояние $\Delta y_2$, то длина каждого из двух участков нити, поддерживающих его, изменится на $\Delta y_2$. Общее изменение длины этих двух участков составит $2\Delta y_2$. Эта длина перераспределится на участок нити, к которому подвешен груз $m_1$. Следовательно, перемещение груза $m_1$ будет $\Delta y_1 = -2\Delta y_2$. Знак "минус" означает, что грузы движутся в противоположных направлениях.Взяв вторую производную по времени от этого соотношения, получим связь между проекциями ускорений:$a_{1y} = -2a_{2y}$ (3)

Теперь у нас есть система из трех уравнений (1), (2), (3) с тремя неизвестными $T$, $a_{1y}$, $a_{2y}$. Решим ее.

Из уравнения (3) выразим $a_{2y}$: $a_{2y} = -a_{1y}/2$.Из уравнения (1) выразим $T$: $T = m_1g + m_1a_{1y}$.

Подставим эти выражения в уравнение (2):$2(m_1g + m_1a_{1y}) - m_2g = m_2(-a_{1y}/2)$$2m_1g + 2m_1a_{1y} - m_2g = - \frac{m_2a_{1y}}{2}$

Сгруппируем слагаемые с $a_{1y}$ и без него:$g(2m_1 - m_2) = -2m_1a_{1y} - \frac{m_2a_{1y}}{2}$$g(2m_1 - m_2) = -a_{1y}(2m_1 + \frac{m_2}{2})$$g(2m_1 - m_2) = -a_{1y}\frac{4m_1 + m_2}{2}$

Отсюда находим проекцию ускорения $a_{1y}$:$a_{1y} = -g\frac{2(2m_1 - m_2)}{4m_1 + m_2} = g\frac{2(m_2 - 2m_1)}{4m_1 + m_2}$

Теперь найдем проекцию ускорения $a_{2y}$:$a_{2y} = -\frac{a_{1y}}{2} = -\frac{1}{2} \cdot g\frac{2(m_2 - 2m_1)}{4m_1 + m_2} = g\frac{2m_1 - m_2}{4m_1 + m_2}$

В задаче требуется найти модули ускорений $a_1$ и $a_2$. Модуль вектора — это его абсолютное значение.$a_1 = |a_{1y}| = \left| g\frac{2(m_2 - 2m_1)}{4m_1 + m_2} \right| = g \frac{2|m_2 - 2m_1|}{4m_1 + m_2}$$a_2 = |a_{2y}| = \left| g\frac{2m_1 - m_2}{4m_1 + m_2} \right| = g \frac{|2m_1 - m_2|}{4m_1 + m_2}$

Поскольку $|m_2 - 2m_1| = |2m_1 - m_2|$, выражения для модулей можно записать так:

Ответ: $a_1 = g \frac{2|2m_1 - m_2|}{4m_1 + m_2}$, $a_2 = g \frac{|2m_1 - m_2|}{4m_1 + m_2}$.