Номер 191, страница 45 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$k = 9,00$

$R = 6,40 \cdot 10^6$ м

Найти:

$h$ - ?

Решение:

Согласно закону всемирного тяготения, сила притяжения $F$, действующая на тело, обратно пропорциональна квадрату расстояния $r$ от центра планеты:

$F = G \frac{M m}{r^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $m$ — масса космического корабля.

На поверхности Земли расстояние от центра равно радиусу Земли $R$. Сила притяжения $F_0$ равна:

$F_0 = G \frac{M m}{R^2}$

На высоте $h$ над поверхностью Земли расстояние от центра равно $R + h$. Сила притяжения $F_h$ на этой высоте будет:

$F_h = G \frac{M m}{(R+h)^2}$

По условию задачи, сила притяжения у поверхности в $k$ раз больше, чем на высоте $h$:

$\frac{F_0}{F_h} = k$

Подставим выражения для сил в это соотношение:

$\frac{G \frac{M m}{R^2}}{G \frac{M m}{(R+h)^2}} = k$

После сокращения одинаковых величин ($G, M, m$) получим:

$\frac{(R+h)^2}{R^2} = k$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\frac{R+h}{R} = \sqrt{k}$

Выразим отсюда высоту $h$:

$R+h = R\sqrt{k}$

$h = R\sqrt{k} - R = R(\sqrt{k} - 1)$

Подставим числовые значения:

$h = 6,40 \cdot 10^6 \text{ м} \cdot (\sqrt{9,00} - 1) = 6,40 \cdot 10^6 \text{ м} \cdot (3,00 - 1) = 6,40 \cdot 10^6 \text{ м} \cdot 2,00$

$h = 12,8 \cdot 10^6 \text{ м} = 1,28 \cdot 10^7 \text{ м}$

Ответ: высота, на которой сила притяжения в 9 раз меньше, составляет $1,28 \cdot 10^7$ м.