Номер 202, страница 46 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$R_Л = 1,76 \cdot 10^3 \text{ км}$

$g_Л = 1,60 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

В системе СИ:

$R_Л = 1,76 \cdot 10^3 \cdot 10^3 \text{ м} = 1,76 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$T$

Решение:

Спутник движется по круговой орбите в непосредственной близости к поверхности Луны. Это означает, что радиус его орбиты $r$ можно считать равным радиусу Луны $R_Л$.

Единственной силой, действующей на спутник, является сила тяжести со стороны Луны. Эта сила сообщает спутнику центростремительное ускорение $a_ц$. По второму закону Ньютона:

$F_{тяж} = m a_ц$

где $m$ - масса спутника.

Сила тяжести на поверхности Луны равна $F_{тяж} = m g_Л$. Центростремительное ускорение выражается формулой $a_ц = \frac{v^2}{R_Л}$, где $v$ - первая космическая скорость для Луны (орбитальная скорость спутника).

Приравняем выражения:

$m g_Л = m \frac{v^2}{R_Л}$

Сократив массу спутника $m$, получим:

$g_Л = \frac{v^2}{R_Л}$

Отсюда можно выразить скорость движения спутника:

$v = \sqrt{g_Л R_Л}$

Период обращения $T$ - это время, за которое спутник совершает один полный оборот. Он равен отношению длины орбиты (окружности) к скорости движения:

$T = \frac{2 \pi R_Л}{v}$

Подставим в эту формулу выражение для скорости $v$:

$T = \frac{2 \pi R_Л}{\sqrt{g_Л R_Л}} = 2 \pi \sqrt{\frac{R_Л^2}{g_Л R_Л}} = 2 \pi \sqrt{\frac{R_Л}{g_Л}}$

Теперь подставим числовые значения в итоговую формулу:

$T = 2 \pi \sqrt{\frac{1,76 \cdot 10^6 \text{ м}}{1,60 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}} = 2 \pi \sqrt{1,1 \cdot 10^6 \text{ с}^2} = 2 \pi \cdot 10^3 \sqrt{1,1} \text{ с}$

Вычислим приближенное значение, принимая $\pi \approx 3,14$ и $\sqrt{1,1} \approx 1,049$:

$T \approx 2 \cdot 3,14 \cdot 1,049 \cdot 10^3 \text{ с} \approx 6,59 \cdot 10^3 \text{ с}$

Переведем в минуты для наглядности (это не обязательно):

$T \approx \frac{6590 \text{ с}}{60 \frac{\text{с}}{\text{мин}}} \approx 109,8 \text{ мин} \approx 1,83 \text{ ч}$

Ответ: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{R_Л}{g_Л}} \approx 6,59 \cdot 10^3 \text{ с}$