Номер 205, страница 47 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$R$ - радиус планеты
$M$ - масса планеты
$T$ - продолжительность суток на планете (период вращения)
$m$ - масса тела
$G$ - гравитационная постоянная

Найти:

$\frac{P_э}{P_п}$ - отношение модулей веса тела на экваторе и на полюсе.

Решение:

Вес тела $P$ — это сила, с которой тело действует на опору. По третьему закону Ньютона, вес тела по модулю равен силе реакции опоры $N$.

На полюсе тело находится на оси вращения, поэтому его линейная скорость равна нулю, и оно не испытывает центростремительного ускорения. На тело действуют сила гравитационного притяжения $F_g$, направленная к центру планеты, и сила реакции опоры $N_п$, направленная от центра. В состоянии покоя эти силы уравновешивают друг друга:

$N_п = F_g = G \frac{Mm}{R^2}$

Следовательно, вес тела на полюсе $P_п$ равен:

$P_п = G \frac{Mm}{R^2}$

На экваторе тело вращается вместе с планетой по окружности радиусом $R$. Движение по окружности происходит с центростремительным ускорением $a_ц$, направленным к центру планеты. Это ускорение создается равнодействующей силы гравитационного притяжения $F_g$ и силы реакции опоры $N_э$. Согласно второму закону Ньютона:

$F_g - N_э = m a_ц$

Вес тела на экваторе $P_э$ равен силе реакции опоры $N_э$:

$P_э = N_э = F_g - m a_ц = G \frac{Mm}{R^2} - m a_ц$

Центростремительное ускорение $a_ц$ связано с угловой скоростью вращения $\omega$ как $a_ц = \omega^2 R$. Угловая скорость, в свою очередь, выражается через период вращения $T$: $\omega = \frac{2\pi}{T}$.

Тогда ускорение равно:

$a_ц = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 R = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$

Подставим это выражение в формулу для веса на экваторе:

$P_э = G \frac{Mm}{R^2} - m \frac{4\pi^2 R}{T^2}$

Теперь найдем искомое отношение $\frac{P_э}{P_п}$:

$\frac{P_э}{P_п} = \frac{G \frac{Mm}{R^2} - m \frac{4\pi^2 R}{T^2}}{G \frac{Mm}{R^2}}$

Разделим почленно числитель на знаменатель:

$\frac{P_э}{P_п} = \frac{G \frac{Mm}{R^2}}{G \frac{Mm}{R^2}} - \frac{m \frac{4\pi^2 R}{T^2}}{G \frac{Mm}{R^2}} = 1 - \frac{m \cdot 4\pi^2 R \cdot R^2}{T^2 \cdot GMm}$

Сократив массу тела $m$, получим окончательный ответ:

$\frac{P_э}{P_п} = 1 - \frac{4\pi^2 R^3}{GMT^2}$

Ответ: $\frac{P_э}{P_п} = 1 - \frac{4\pi^2 R^3}{GMT^2}$.