Номер 212, страница 47 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$\Delta h = 200$ м

$\Delta t_1 = 4,00$ с

$g \approx 9,8$ м/с$^2$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$\Delta t$ - ?

$h$ - ?

Решение:

Рассмотрим падение камня как свободное падение без начальной скорости, то есть как равноускоренное движение. Пусть полное время падения равно $\Delta t$, а полная высота, с которой упал камень, — $h$.

Путь, пройденный телом при свободном падении, определяется формулой $S = \frac{gt^2}{2}$.

За всё время падения $\Delta t$ камень пролетел расстояние $h$. Таким образом, мы можем записать первое уравнение:

$h = \frac{g (\Delta t)^2}{2}$ (1)

Последний участок пути $\Delta h = 200$ м камень пролетел за время $\Delta t_1 = 4,00$ с. Это означает, что до начала этого участка камень падал в течение времени $(\Delta t - \Delta t_1)$ и пролетел путь $(h - \Delta h)$. Для этого участка пути справедливо второе уравнение:

$h - \Delta h = \frac{g (\Delta t - \Delta t_1)^2}{2}$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными: $h$ и $\Delta t$. Чтобы решить эту систему, вычтем уравнение (2) из уравнения (1):

$h - (h - \Delta h) = \frac{g (\Delta t)^2}{2} - \frac{g (\Delta t - \Delta t_1)^2}{2}$

Упростим левую часть и вынесем $\frac{g}{2}$ за скобки в правой части:

$\Delta h = \frac{g}{2} ((\Delta t)^2 - (\Delta t - \Delta t_1)^2)$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для выражения в скобках:

$\Delta h = \frac{g}{2} ((\Delta t - (\Delta t - \Delta t_1))(\Delta t + (\Delta t - \Delta t_1)))$

$\Delta h = \frac{g}{2} (\Delta t_1 (2\Delta t - \Delta t_1))$

Из этого соотношения мы можем найти полное время падения $\Delta t$, а затем, используя его, найти и полную высоту $h$.

В течение какого промежутка времени $\Delta t$ длилось падение?

Выразим $\Delta t$ из полученного уравнения $\Delta h = \frac{g}{2} (\Delta t_1 (2\Delta t - \Delta t_1))$:

$2\Delta h = g \Delta t_1 (2\Delta t - \Delta t_1)$

$\frac{2\Delta h}{g \Delta t_1} = 2\Delta t - \Delta t_1$

$2\Delta t = \frac{2\Delta h}{g \Delta t_1} + \Delta t_1$

$\Delta t = \frac{\Delta h}{g \Delta t_1} + \frac{\Delta t_1}{2}$

Подставим известные числовые значения:

$\Delta t = \frac{200 \text{ м}}{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 4,00 \text{ с}} + \frac{4,00 \text{ с}}{2} = \frac{200}{39,2} \text{ с} + 2,00 \text{ с} \approx 5,102 \text{ с} + 2,00 \text{ с} \approx 7,102 \text{ с}$

Округлим результат до трёх значащих цифр, так как данные в условии имеют такую же точность.

Ответ: падение длилось в течение промежутка времени $\Delta t \approx 7,10$ с.

С какой высоты $h$ упал камень?

Зная полное время падения $\Delta t$, мы можем рассчитать полную высоту $h$ по формуле (1):

$h = \frac{g (\Delta t)^2}{2}$

Для большей точности вычислений используем неокругленное значение $\Delta t \approx 7,102$ с:

$h = \frac{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot (7,102 \text{ с})^2}{2} = 4,9 \text{ м/с}^2 \cdot 50,438 \text{ с}^2 \approx 247,15$ м

Округлим результат до трёх значащих цифр.

Ответ: камень упал с высоты $h \approx 247$ м.