Номер 213, страница 47 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

$ \Delta t = 6,00 \text{ с} $

$ v_{зв} = 340 \frac{\text{м}}{\text{с}} $

$ v_{0} = 0 \frac{\text{м}}{\text{с}} $

Примем ускорение свободного падения $ g \approx 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} $.

Найти:

$ h $ - ?

Решение

Общее время $ \Delta t $, которое прошло с момента падения камня до момента, когда человек услышал звук, складывается из двух промежутков времени:

1. Время падения камня до дна обрыва ($ t_1 $).

2. Время распространения звука от дна обрыва до человека ($ t_2 $).

Таким образом, $ \Delta t = t_1 + t_2 $.

Камень падает без начальной скорости, поэтому его движение является равноускоренным. Глубину обрыва $ h $ можно найти по формуле:

$ h = v_0 t_1 + \frac{g t_1^2}{2} $

Поскольку начальная скорость $ v_0 = 0 $, то $ h = \frac{g t_1^2}{2} $.

Отсюда выразим время падения камня $ t_1 $:

$ t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}} $.

Звук распространяется равномерно со скоростью $ v_{зв} $. Время $ t_2 $, за которое звук пройдет расстояние $ h $, равно:

$ t_2 = \frac{h}{v_{зв}} $.

Подставим выражения для $ t_1 $ и $ t_2 $ в формулу для общего времени:

$ \Delta t = \sqrt{\frac{2h}{g}} + \frac{h}{v_{зв}} $.

Мы получили уравнение с одной неизвестной $ h $. Чтобы решить его, преобразуем уравнение. Перенесем второе слагаемое в левую часть:

$ \sqrt{\frac{2h}{g}} = \Delta t - \frac{h}{v_{зв}} $.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$ \frac{2h}{g} = (\Delta t - \frac{h}{v_{зв}})^2 $

$ \frac{2h}{g} = (\Delta t)^2 - 2 \Delta t \frac{h}{v_{зв}} + \frac{h^2}{v_{зв}^2} $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $ h $ вида $ Ah^2 + Bh + C = 0 $:

$ \frac{1}{v_{зв}^2} h^2 - (\frac{2 \Delta t}{v_{зв}} + \frac{2}{g}) h + (\Delta t)^2 = 0 $.

Подставим числовые значения:

$ \frac{1}{(340)^2} h^2 - (\frac{2 \cdot 6,00}{340} + \frac{2}{9,8}) h + (6,00)^2 = 0 $

$ \frac{1}{115600} h^2 - (\frac{12}{340} + \frac{1}{4,9}) h + 36 = 0 $

Вычислим коэффициенты:

$ A = \frac{1}{115600} \approx 8,65 \cdot 10^{-6} $

$ B = -(\frac{12}{340} + \frac{2}{9,8}) \approx -(0,0353 + 0,2041) = -0,2394 $

$ C = 36 $

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант $ D = B^2 - 4AC $:

$ D \approx (-0,2394)^2 - 4 \cdot (8,65 \cdot 10^{-6}) \cdot 36 \approx 0,05731 - 0,001246 \approx 0,05606 $.

Найдем корни уравнения $ h_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} $:

$ h_1 = \frac{0,2394 + \sqrt{0,05606}}{2 \cdot 8,65 \cdot 10^{-6}} = \frac{0,2394 + 0,2368}{1,73 \cdot 10^{-5}} \approx \frac{0,4762}{1,73 \cdot 10^{-5}} \approx 27526 \text{ м} $

$ h_2 = \frac{0,2394 - \sqrt{0,05606}}{2 \cdot 8,65 \cdot 10^{-6}} = \frac{0,2394 - 0,2368}{1,73 \cdot 10^{-5}} \approx \frac{0,0026}{1,73 \cdot 10^{-5}} \approx 150,3 \text{ м} $

Первый корень $ h_1 \approx 27,5 \text{ км} $ не имеет физического смысла, так как время падения камня с такой высоты было бы:

$ t_1 = \sqrt{\frac{2 \cdot 27526}{9,8}} \approx \sqrt{5617} \approx 75 \text{ с} $, что значительно больше общего времени $ \Delta t = 6,00 \text{ с} $. Этот посторонний корень появился из-за возведения уравнения в квадрат.

Следовательно, верным решением является второй корень. С учетом точности исходных данных, округлим результат до трех значащих цифр.

$ h \approx 150 \text{ м} $.

Проверим результат:

Время падения: $ t_1 = \sqrt{\frac{2 \cdot 150}{9,8}} \approx \sqrt{30,6} \approx 5,53 \text{ с} $.

Время полета звука: $ t_2 = \frac{150}{340} \approx 0,44 \text{ с} $.

Общее время: $ \Delta t = t_1 + t_2 \approx 5,53 + 0,44 = 5,97 \text{ с} $, что близко к заданным $ 6,00 \text{ с} $.

Для большей точности можно использовать $h_2 \approx 150,3 \text{ м}$. Тогда $t_1 \approx 5,54 \text{ с}$, $t_2 \approx 0,44 \text{ с}$, $t_1+t_2 \approx 5,98 \text{ с}$. Расхождение связано с округлениями. Более точный расчет дает значение $h \approx 151 \text{ м}$.

Ответ: $ h \approx 150 $ м.