Номер 216, страница 48 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Свободное падение

Начальная скорость $v_0 = 0$ м/с

Последний промежуток времени $ \Delta t_{посл} = 2,0 $ с

Путь, пройденный за этот промежуток $ s = 60 $ м

Ускорение свободного падения $ g \approx 10 $ м/с²

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Полный промежуток времени падения $ t_{полн} $ (в условии задачи искомая величина обозначена как $ \Delta t $).

Решение:

Пусть $ t_{полн} $ — полное время падения тела. Поскольку тело падает из состояния покоя ($v_0 = 0$), путь, пройденный за всё время падения, можно найти по формуле для равноускоренного движения:

$ H = \frac{gt_{полн}^2}{2} $

Путь, пройденный телом за время $ t_1 = t_{полн} - \Delta t_{посл} $ (то есть до начала последнего интервала времени), равен:

$ H_1 = \frac{g(t_{полн} - \Delta t_{посл})^2}{2} $

Путь $ s $, пройденный за последний промежуток времени $ \Delta t_{посл} $, представляет собой разность между полным путем $ H $ и путем $ H_1 $:

$ s = H - H_1 = \frac{gt_{полн}^2}{2} - \frac{g(t_{полн} - \Delta t_{посл})^2}{2} $

Вынесем общий множитель $ \frac{g}{2} $ за скобки:

$ s = \frac{g}{2} (t_{полн}^2 - (t_{полн} - \Delta t_{посл})^2) $

Применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ для выражения в скобках:

$ s = \frac{g}{2} ((t_{полн} - (t_{полн} - \Delta t_{посл}))(t_{полн} + (t_{полн} - \Delta t_{посл}))) $

$ s = \frac{g}{2} (\Delta t_{посл})(2t_{полн} - \Delta t_{посл}) $

Из этого уравнения выразим искомое полное время падения $ t_{полн} $:

$ \frac{2s}{g \cdot \Delta t_{посл}} = 2t_{полн} - \Delta t_{посл} $

$ 2t_{полн} = \frac{2s}{g \cdot \Delta t_{посл}} + \Delta t_{посл} $

$ t_{полн} = \frac{s}{g \cdot \Delta t_{посл}} + \frac{\Delta t_{посл}}{2} $

Подставим числовые значения из условия. Примем ускорение свободного падения $ g \approx 10 $ м/с², так как это стандартное допущение для многих школьных задач, которое часто приводит к целочисленному ответу.

$ t_{полн} = \frac{60}{10 \cdot 2,0} + \frac{2,0}{2} = \frac{60}{20} + 1,0 = 3,0 + 1,0 = 4,0 $ с.

В условии задачи искомый промежуток времени обозначен как $ \Delta t $, поэтому ответ следует записать с этим обозначением.

Ответ:

$ \Delta t = 4,0 $ с.