Номер 219, страница 48 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Высота падения первого тела: $h_1$

Начальная скорость первого тела: $v_{01} = 0$

Высота падения второго тела: $h_2$ ($h_2 > h_1$)

Ускорение свободного падения: $g$

Времена падения тел равны: $t_1 = t_2$

Найти:

Модуль начальной скорости второго тела: $v_0$

Решение:

Рассмотрим движение тел в системе отсчета, связанной с поверхностью Земли. Направим ось OY вертикально вверх, а начало отсчета ($y=0$) поместим на поверхности Земли.

Движение обоих тел является равноускоренным с ускорением $a_y = -g$. Уравнение координаты тела в общем виде: $y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2}$.

Для первого тела:

Начальная координата $y_{01} = h_1$, начальная скорость $v_{01} = 0$.

Уравнение движения первого тела: $y_1(t) = h_1 - \frac{gt^2}{2}$.

Тело упадет на Землю в момент времени $t_1$, когда его координата станет равной нулю: $y_1(t_1) = 0$.

$0 = h_1 - \frac{gt_1^2}{2}$

Отсюда находим время падения первого тела:

$t_1^2 = \frac{2h_1}{g} \Rightarrow t_1 = \sqrt{\frac{2h_1}{g}}$

Для второго тела:

Начальная координата $y_{02} = h_2$. Так как второе тело начинает движение с большей высоты и падает одновременно с первым, его начальная скорость $v_0$ должна быть направлена вниз. Таким образом, проекция начальной скорости на ось OY будет $v_{0y} = -v_0$.

Уравнение движения второго тела: $y_2(t) = h_2 - v_0 t - \frac{gt^2}{2}$.

Тело упадет на Землю в момент времени $t_2$, когда $y_2(t_2) = 0$.

$0 = h_2 - v_0 t_2 - \frac{gt_2^2}{2}$

По условию задачи, тела падают одновременно, значит их времена полета равны: $t_1 = t_2 = t = \sqrt{\frac{2h_1}{g}}$.

Подставим время $t$ в уравнение для второго тела:

$0 = h_2 - v_0 \sqrt{\frac{2h_1}{g}} - \frac{g}{2}\left(\sqrt{\frac{2h_1}{g}}\right)^2$

Упростим выражение в скобках:

$0 = h_2 - v_0 \sqrt{\frac{2h_1}{g}} - \frac{g}{2} \cdot \frac{2h_1}{g}$

$0 = h_2 - v_0 \sqrt{\frac{2h_1}{g}} - h_1$

Теперь выразим $v_0$:

$v_0 \sqrt{\frac{2h_1}{g}} = h_2 - h_1$

$v_0 = \frac{h_2 - h_1}{\sqrt{\frac{2h_1}{g}}} = (h_2 - h_1)\sqrt{\frac{g}{2h_1}}$

Ответ: $v_0 = (h_2 - h_1)\sqrt{\frac{g}{2h_1}}$