Номер 226, страница 49 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$t = 2,0$ с

$\Delta t_1 = 1,0$ с

$\Delta t_2 = 1,5$ с

$\Delta t_3 = 2,0$ с

Найти:

$s_1, s_2, s_3$ - ?

$\Delta r_1, \Delta r_2, \Delta r_3$ - ?

$v_1, v_2, v_3$ - ?

$|\langle\vec{v}\rangle|$ - ?

Решение:

Для упрощения расчетов примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Выберем систему отсчета, связанную с поверхностью Земли. Ось OY направим вертикально вверх, а начало отсчета ($y_0 = 0$) совместим с точкой броска.

Уравнение координаты камня в зависимости от времени имеет вид: $y(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$.

Уравнение скорости: $v_y(t) = v_0 - gt$.

По условию, камень упал на землю через полное время полета $t = 2,0$ с, значит, его конечная координата $y(t) = 0$. Найдем начальную скорость $v_0$:

$0 = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

Поскольку $t \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $t$:

$v_0 = \frac{gt}{2} = \frac{10 \text{ м/с}^2 \cdot 2,0 \text{ с}}{2} = 10$ м/с.

Время подъема камня на максимальную высоту $t_{up}$ соответствует моменту, когда его скорость становится равной нулю ($v_y(t_{up}) = 0$):

$0 = v_0 - gt_{up} \implies t_{up} = \frac{v_0}{g} = \frac{10 \text{ м/с}}{10 \text{ м/с}^2} = 1,0$ с.

Максимальная высота подъема $h_{max}$:

$h_{max} = y(t_{up}) = v_0 t_{up} - \frac{gt_{up}^2}{2} = 10 \cdot 1,0 - \frac{10 \cdot (1,0)^2}{2} = 10 - 5 = 5,0$ м.

Теперь рассчитаем искомые величины для каждого промежутка времени.

Определение путей $s_1, s_2, s_3$ и модулей перемещений $\Delta r_1, \Delta r_2, \Delta r_3$

Для промежутка времени $\Delta t_1 = 1,0$ с:

Этот промежуток времени равен времени подъема на максимальную высоту. Модуль перемещения $\Delta r_1$ равен высоте подъема:

$\Delta r_1 = |y(1,0) - y(0)| = |5,0 - 0| = 5,0$ м.

Поскольку камень двигался только вверх, пройденный путь $s_1$ равен модулю перемещения:

$s_1 = \Delta r_1 = 5,0$ м.

Для промежутка времени $\Delta t_2 = 1,5$ с:

Найдем координату камня в этот момент:

$y(1,5) = 10 \cdot 1,5 - \frac{10 \cdot (1,5)^2}{2} = 15 - \frac{10 \cdot 2,25}{2} = 15 - 11,25 = 3,75$ м.

Модуль перемещения $\Delta r_2$ от начальной точки:

$\Delta r_2 = |y(1,5) - y(0)| = |3,75 - 0| = 3,75$ м.

Пройденный путь $s_2$ состоит из пути вверх до максимальной высоты ($h_{max} = 5,0$ м) и пути вниз от нее. Путь вниз равен $|y(1,5) - h_{max}| = |3,75 - 5,0| = 1,25$ м. Тогда общий путь:

$s_2 = h_{max} + |y(1,5) - h_{max}| = 5,0 + 1,25 = 6,25$ м.

Для промежутка времени $\Delta t_3 = 2,0$ с:

Это полное время полета. Камень вернулся в начальную точку, $y(2,0) = 0$. Модуль перемещения $\Delta r_3$:

$\Delta r_3 = |y(2,0) - y(0)| = |0 - 0| = 0$ м.

Пройденный путь $s_3$ равен пути вверх до $h_{max}$ и пути вниз до земли:

$s_3 = h_{max} + h_{max} = 5,0 + 5,0 = 10,0$ м.

Ответ: $s_1 = 5,0$ м, $\Delta r_1 = 5,0$ м; $s_2 = 6,25$ м, $\Delta r_2 = 3,75$ м; $s_3 = 10,0$ м, $\Delta r_3 = 0$ м.

Нахождение модулей скоростей $v_1, v_2, v_3$

Модуль скорости в момент времени $t$ равен $v(t) = |v_y(t)| = |v_0 - gt| = |10 - 10t|$.

Для $\Delta t_1 = 1,0$ с:

$v_1 = |v_y(1,0)| = |10 - 10 \cdot 1,0| = |0| = 0$ м/с.

Для $\Delta t_2 = 1,5$ с:

$v_2 = |v_y(1,5)| = |10 - 10 \cdot 1,5| = |10 - 15| = |-5| = 5,0$ м/с.

Для $\Delta t_3 = 2,0$ с:

$v_3 = |v_y(2,0)| = |10 - 10 \cdot 2,0| = |10 - 20| = |-10| = 10,0$ м/с.

Ответ: $v_1 = 0$ м/с, $v_2 = 5,0$ м/с, $v_3 = 10,0$ м/с.

Определение модуля средней скорости перемещения $|\langle\vec{v}\rangle|$

Средняя скорость перемещения определяется как отношение вектора полного перемещения $\Delta \vec{r}_{total}$ ко всему времени движения $t$.

Полное перемещение за время движения $t = 2,0$ с равно нулю, так как камень вернулся в исходную точку. Модуль этого перемещения $\Delta r_{total} = \Delta r_3 = 0$ м.

Модуль средней скорости перемещения:

$|\langle\vec{v}\rangle| = \frac{\Delta r_{total}}{t} = \frac{0 \text{ м}}{2,0 \text{ с}} = 0$ м/с.

Ответ: $|\langle\vec{v}\rangle| = 0$ м/с.