Номер 228, страница 49 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$t_1 = 1$ с

$h_1 = H/2$, где $H$ - полная высота подъема

Найти:

$s$ - путь за последнюю секунду падения

Решение:

Движение тела при падении с максимальной высоты является свободным падением. Начальная скорость в верхней точке траектории равна нулю. Путь, пройденный телом за время $t$ при свободном падении, определяется формулой:

$h(t) = \frac{gt^2}{2}$

По условию, за первую секунду падения ($t_1 = 1$ с) тело проходит половину высоты подъема, то есть $h_1 = H/2$. Подставим эти данные в формулу:

$\frac{H}{2} = \frac{g \cdot t_1^2}{2} = \frac{g \cdot 1^2}{2}$

$\frac{H}{2} = \frac{g}{2}$

Отсюда находим, что полная высота подъема равна:

$H = g$

Теперь определим полное время падения $T$. Это время, за которое тело пройдет весь путь $H$ от верхней точки до точки броска.

$H = \frac{gT^2}{2}$

Подставим в это уравнение найденное значение $H = g$:

$g = \frac{gT^2}{2}$

Сократив на $g$, получаем:

$1 = \frac{T^2}{2} \implies T^2 = 2 \implies T = \sqrt{2}$ с.

Путь $s$, пройденный за последнюю секунду падения, — это разность между полным путем $H$ и путем $h_{T-1}$, пройденным за время $(T-1)$ секунд с момента начала падения.

$s = H - h_{T-1}$

Путь $h_{T-1}$ вычисляется по той же формуле свободного падения:

$h_{T-1} = \frac{g(T-1)^2}{2}$

Подставим все известные величины в выражение для $s$:

$s = g - \frac{g(\sqrt{2}-1)^2}{2}$

Раскроем квадрат разности в числителе: $(\sqrt{2}-1)^2 = (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2}$.

Теперь подставим это обратно в формулу для $s$:

$s = g - \frac{g(3 - 2\sqrt{2})}{2}$

Вынесем $g$ за скобки для упрощения:

$s = g \left(1 - \frac{3 - 2\sqrt{2}}{2}\right)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$s = g \left(\frac{2 - (3 - 2\sqrt{2})}{2}\right) = g \left(\frac{2 - 3 + 2\sqrt{2}}{2}\right) = g \frac{2\sqrt{2} - 1}{2}$

Ответ:

Путь, который пройдет тело за последнюю секунду падения, равен $s = g \frac{2\sqrt{2} - 1}{2}$. Принимая $g \approx 9.8$ м/с², численное значение пути составит $s \approx 8.96$ м.