Номер 222, страница 48 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$t = 2,0 \text{ с}$

$l = 25 \text{ м}$

$v_{0} = 0 \text{ м/с}$ (начальная скорость капель)

$g \approx 10 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$\Delta t$

Решение:

Движение капель — это свободное падение без начальной скорости. Расстояние, которое пролетает тело за время $t$, описывается формулой:

$h = \frac{gt^2}{2}$

Пусть $\Delta t$ — это промежуток времени, на который первая капля начала падать раньше второй. В момент времени $t = 2,0 \text{ с}$ после начала падения второй капли, ее время в полете составляет $t_2 = t = 2,0 \text{ с}$.

Первая капля к этому моменту времени находится в полете дольше на $\Delta t$, поэтому ее время падения составляет $t_1 = t + \Delta t$.

За время $t_2$ вторая капля пролетит расстояние:

$h_2 = \frac{gt_2^2}{2} = \frac{gt^2}{2}$

За время $t_1$ первая капля пролетит расстояние:

$h_1 = \frac{gt_1^2}{2} = \frac{g(t + \Delta t)^2}{2}$

Расстояние $l$ между каплями — это разность пройденных ими путей:

$l = h_1 - h_2$

Подставим выражения для $h_1$ и $h_2$:

$l = \frac{g(t + \Delta t)^2}{2} - \frac{gt^2}{2}$

Вынесем общий множитель $\frac{g}{2}$ за скобки:

$l = \frac{g}{2} \left( (t + \Delta t)^2 - t^2 \right)$

Теперь подставим известные числовые значения в уравнение. Примем $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

$25 = \frac{10}{2} \left( (2,0 + \Delta t)^2 - (2,0)^2 \right)$

$25 = 5 \left( (2,0 + \Delta t)^2 - 4 \right)$

Разделим обе части уравнения на 5:

$5 = (2,0 + \Delta t)^2 - 4$

Перенесем 4 в левую часть уравнения:

$9 = (2,0 + \Delta t)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку искомый промежуток времени $\Delta t$ не может быть отрицательным, значение $(2,0 + \Delta t)$ также должно быть положительным, поэтому мы рассматриваем только арифметический корень:

$3 = 2,0 + \Delta t$

Выразим $\Delta t$:

$\Delta t = 3 - 2,0$

$\Delta t = 1,0 \text{ с}$

Ответ: первая капля оторвалась от крыши на 1,0 с раньше.