Номер 227, страница 49 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Начальная высота: $h$

Общий пройденный путь: $S = 3h$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

$v_0$ — модуль начальной скорости мячика

$\Delta t$ — промежуток времени его движения

$v$ — модуль скорости в конце падения

Решение:

Движение мячика можно разделить на два этапа: подъем от точки броска до максимальной высоты и падение с максимальной высоты до земли. Общий путь $S$ — это сумма длин этих двух участков.

Пусть мячик брошен с высоты $h$ и поднялся еще на высоту $h_{подъема}$. Тогда максимальная высота, достигнутая мячиком относительно земли, будет $H = h + h_{подъема}$.

Общий путь $S$, пройденный мячиком, складывается из пути наверх от точки броска ($h_{подъема}$) и пути вниз с максимальной высоты до земли ($H$).

$S = h_{подъема} + H$

Подставим $H = h + h_{подъема}$ в это уравнение:

$S = h_{подъема} + (h + h_{подъема}) = 2h_{подъема} + h$

По условию задачи, $S = 3h$. Приравняем выражения для пути:

$3h = 2h_{подъема} + h$

$2h = 2h_{подъема}$

$h_{подъема} = h$

Таким образом, мячик поднялся на высоту $h$ от точки броска. Максимальная высота над землей составляет $H = h + h_{подъема} = h + h = 2h$.

Модуль начальной скорости $v_0$ мячика

Рассмотрим движение мячика от точки броска (высота $h$) до максимальной высоты ($H = 2h$). В верхней точке траектории скорость мячика равна нулю. Воспользуемся формулой, связывающей скорость, перемещение и ускорение при равноускоренном движении (ось OY направлена вверх):

$v_y^2 - v_{0y}^2 = 2a_y \Delta y$

В нашем случае конечная скорость $v_y = 0$, начальная скорость $v_{0y} = v_0$, ускорение $a_y = -g$, а перемещение $\Delta y = h_{подъема} = h$.

$0^2 - v_0^2 = 2(-g)h$

$-v_0^2 = -2gh$

$v_0^2 = 2gh$

$v_0 = \sqrt{2gh}$

Ответ: $v_0 = \sqrt{2gh}$

Промежуток времени $\Delta t$ его движения

Общее время движения $\Delta t$ состоит из времени подъема от точки $h$ до $H$ ($t_{подъема}$) и времени падения с высоты $H=2h$ до земли ($t_{падения}$).

Найдем время подъема $t_{подъема}$ из формулы скорости $v_y = v_{0y} + a_y t$:

$0 = v_0 - gt_{подъема}$

$t_{подъема} = \frac{v_0}{g} = \frac{\sqrt{2gh}}{g} = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Найдем время падения $t_{падения}$ с высоты $H=2h$ при начальной скорости, равной нулю. Используем формулу для перемещения:

$H = \frac{gt_{падения}^2}{2}$

$2h = \frac{gt_{падения}^2}{2}$

$t_{падения}^2 = \frac{4h}{g}$

$t_{падения} = \sqrt{\frac{4h}{g}} = 2\sqrt{\frac{h}{g}}$

Общее время движения:

$\Delta t = t_{подъема} + t_{падения} = \sqrt{\frac{2h}{g}} + 2\sqrt{\frac{h}{g}} = (\sqrt{2} + 2)\sqrt{\frac{h}{g}}$

Ответ: $\Delta t = (\sqrt{2} + 2)\sqrt{\frac{h}{g}}$

Модуль скорости $v$ в конце падения

Модуль конечной скорости можно найти, применив закон сохранения механической энергии. Сравним полную энергию в точке броска (высота $h$, скорость $v_0$) и в момент падения на землю (высота 0, скорость $v$).

Энергия в начальной точке: $E_{нач} = \frac{mv_0^2}{2} + mgh$

Энергия в конечной точке: $E_{кон} = \frac{mv^2}{2}$

По закону сохранения энергии $E_{нач} = E_{кон}$:

$\frac{mv_0^2}{2} + mgh = \frac{mv^2}{2}$

Подставим ранее найденное значение $v_0^2 = 2gh$:

$\frac{m(2gh)}{2} + mgh = \frac{mv^2}{2}$

$mgh + mgh = \frac{mv^2}{2}$

$2mgh = \frac{mv^2}{2}$

$4gh = v^2$

$v = \sqrt{4gh} = 2\sqrt{gh}$

Ответ: $v = 2\sqrt{gh}$