Номер 199, страница 46 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:
Радиус Луны, $R_Л = 1,76 \cdot 10^3$ км
Модуль ускорения свободного падения на поверхности Луны, $g_Л = 1,60 \frac{м}{с^2}$

Перевод в систему СИ:
$R_Л = 1,76 \cdot 10^3 \text{ км} = 1,76 \cdot 10^3 \cdot 10^3 \text{ м} = 1,76 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:
$v_1$ — модуль первой космической скорости у поверхности Луны.

Решение:

Первая космическая скорость — это скорость, которую необходимо придать телу, чтобы оно стало искусственным спутником, движущимся по круговой орбите вблизи поверхности небесного тела. Для движения по такой орбите сила всемирного тяготения должна быть равна центростремительной силе, действующей на тело:

$F_т = F_{цс}$

$G\frac{M_Л m}{R_Л^2} = \frac{mv_1^2}{R_Л}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M_Л$ — масса Луны, $m$ — масса тела (спутника), $R_Л$ — радиус Луны.

Из этого уравнения можно выразить первую космическую скорость $v_1$:

$v_1 = \sqrt{\frac{GM_Л}{R_Л}}$

Ускорение свободного падения $g_Л$ на поверхности Луны определяется по формуле:

$g_Л = G\frac{M_Л}{R_Л^2}$

Отсюда можно выразить произведение $GM_Л$:

$GM_Л = g_Л R_Л^2$

Подставим это выражение в формулу для первой космической скорости:

$v_1 = \sqrt{\frac{g_Л R_Л^2}{R_Л}} = \sqrt{g_Л R_Л}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу, используя данные в системе СИ:

$v_1 = \sqrt{1,60 \frac{м}{с^2} \cdot 1,76 \cdot 10^6 \text{ м}} = \sqrt{2,816 \cdot 10^6 \frac{м^2}{с^2}}$

$v_1 = \sqrt{2,816} \cdot \sqrt{10^6} \frac{м}{с} \approx 1,678 \cdot 10^3 \frac{м}{с}$

Так как исходные данные представлены с тремя значащими цифрами, округлим результат до трёх значащих цифр:

$v_1 \approx 1,68 \cdot 10^3 \frac{м}{с}$

Это значение также можно выразить в километрах в секунду: $1,68 \frac{км}{с}$.

Ответ: $v_1 \approx 1,68 \cdot 10^3 \frac{м}{с}$.