Номер 201, страница 46 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$h = 1,6 \cdot 10^3 \text{ км} = 1,6 \cdot 10^6 \text{ м}$

$R = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

$g = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Найти:

$T$ - ?

Решение:

Искусственный спутник движется по круговой орбите. Его движение происходит под действием силы всемирного тяготения, которая сообщает ему центростремительное ускорение. По второму закону Ньютона:

$F_{гр} = m \cdot a_ц$

где $F_{гр}$ — сила гравитационного притяжения спутника к Земле, $m$ — масса спутника, $a_ц$ — центростремительное ускорение.

Сила гравитационного притяжения на высоте $h$ над поверхностью Земли определяется по формуле:

$F_{гр} = G \frac{Mm}{(R+h)^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $R$ — радиус Земли.

Центростремительное ускорение спутника, движущегося по окружности радиусом $r = R+h$ со скоростью $v$, равно:

$a_ц = \frac{v^2}{R+h}$

Приравнивая выражения, получаем:

$G \frac{Mm}{(R+h)^2} = m \frac{v^2}{R+h}$

Отсюда можно выразить квадрат скорости спутника:

$v^2 = \frac{GM}{R+h}$

Период обращения $T$ — это время, за которое спутник совершает один полный оборот по орбите. Он равен отношению длины орбиты $L = 2\pi(R+h)$ к скорости спутника $v$:

$T = \frac{2\pi(R+h)}{v} = 2\pi(R+h) \sqrt{\frac{R+h}{GM}} = 2\pi \sqrt{\frac{(R+h)^3}{GM}}$

В условии задачи не даны значения $G$ и $M$, но дано ускорение свободного падения $g$ на поверхности Земли. Связь между этими величинами можно найти из закона всемирного тяготения для тела на поверхности Земли:

$mg = G \frac{Mm}{R^2}$

Отсюда получаем: $GM = gR^2$.

Подставим это выражение в формулу для периода обращения:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{(R+h)^3}{gR^2}}$

Теперь подставим числовые значения. Сначала найдем радиус орбиты:

$r = R+h = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м} + 1,6 \cdot 10^6 \text{ м} = 8,0 \cdot 10^6 \text{ м}$

Выполним расчет периода:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{(8,0 \cdot 10^6)^3}{10 \cdot (6,4 \cdot 10^6)^2}} = 2\pi \sqrt{\frac{8,0^3 \cdot 10^{18}}{10 \cdot 6,4^2 \cdot 10^{12}}} = 2\pi \sqrt{\frac{512 \cdot 10^{6}}{10 \cdot 40,96}} = 2\pi \sqrt{\frac{512 \cdot 10^{6}}{409,6}}$

Так как $\frac{512}{409,6} = \frac{5120}{4096} = 1,25$, то:

$T = 2\pi \sqrt{1,25 \cdot 10^6} = 2\pi \cdot 10^3 \sqrt{1,25} \text{ с}$

$T \approx 2 \cdot 3,14 \cdot 10^3 \cdot 1,118 \text{ с} \approx 7021 \text{ с}$

Для более точного ответа: $\sqrt{1,25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

$T = 2\pi \cdot 10^3 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = \pi\sqrt{5} \cdot 10^3 \text{ с} \approx 7037 \text{ с}$

Переведем в минуты: $T = \frac{7037}{60} \approx 117,3 \text{ мин}$.

Ответ: $T \approx 7037 \text{ с}$ (или $117,3 \text{ мин}$).