Номер 200, страница 46 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Средняя скорость движения Земли $\langle v \rangle = 30 \frac{км}{с}$

Радиус орбиты Земли $r = 1,5 \cdot 10^8$ м

Гравитационная постоянная $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}$

$v = 30 \frac{км}{с} = 30 \cdot 1000 \frac{м}{с} = 3 \cdot 10^4 \frac{м}{с}$

Найти:

Массу Солнца $M$

Решение:

Для решения задачи будем считать орбиту Земли круговой, а её среднюю скорость – постоянной скоростью движения по этой окружности. Движение Земли по орбите вокруг Солнца происходит под действием силы всемирного тяготения, которая сообщает Земле центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, сила тяготения равна произведению массы Земли на её центростремительное ускорение.

Сила всемирного тяготения $F_g$ между Солнцем (масса $M$) и Землей (масса $m$), находящимися на расстоянии $r$ друг от друга, определяется по формуле:

$F_g = G \frac{M m}{r^2}$

Эта сила является центростремительной силой $F_c$, которая удерживает Землю на орбите. Центростремительная сила выражается через скорость движения $v$ и радиус орбиты $r$:

$F_c = m a_c = m \frac{v^2}{r}$

Приравняем выражения для силы тяготения и центростремительной силы:

$G \frac{M m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

Мы можем сократить массу Земли $m$ с обеих сторон уравнения, а также один $r$ в знаменателе:

$G \frac{M}{r} = v^2$

Теперь выразим массу Солнца $M$ из этого уравнения:

$M = \frac{v^2 r}{G}$

Подставим числовые значения величин в систему СИ и произведем вычисления:

$M = \frac{(3 \cdot 10^4 \frac{м}{с})^2 \cdot (1,5 \cdot 10^8 м)}{6,67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}} = \frac{9 \cdot 10^8 \frac{м^2}{с^2} \cdot 1,5 \cdot 10^8 м}{6,67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}}$

$M = \frac{13,5 \cdot 10^{16} \frac{м^3}{с^2}}{6,67 \cdot 10^{-11} \frac{кг \cdot м}{с^2} \cdot \frac{м^2}{кг^2}} = \frac{13,5}{6,67} \cdot 10^{16 - (-11)} кг$

$M \approx 2,024 \cdot 10^{27} кг$

Округлим результат до двух значащих цифр.

Ответ: $M \approx 2,0 \cdot 10^{27}$ кг.