Номер 203, страница 46 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$T = 240 \text{ мин}$

Для решения используются справочные величины:

Гравитационная постоянная $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$

Масса Земли $M_З \approx 6 \cdot 10^{24} \, \text{кг}$

Радиус Земли $R_З \approx 6.4 \cdot 10^6 \, \text{м}$

Перевод в систему СИ:

$T = 240 \text{ мин} = 240 \cdot 60 \text{ с} = 14400 \text{ с}$

Найти:

$h$

Решение:

Спутник движется по круговой орбите, значит, сила всемирного тяготения, действующая на него со стороны Земли, является центростремительной силой. Согласно второму закону Ньютона, мы можем приравнять силу тяготения $F_g$ и центростремительную силу $F_ц = m a_ц$:

$F_g = F_ц$

Сила всемирного тяготения равна:

$F_g = G \frac{M_З m}{r^2}$

где $m$ — масса спутника, $r$ — радиус его орбиты (расстояние от центра Земли).

Центростремительная сила выражается через орбитальную скорость $v$:

$F_ц = m \frac{v^2}{r}$

Приравняем правые части выражений:

$G \frac{M_З m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

Сократив массу спутника $m$ и радиус $r$, получим:

$G \frac{M_З}{r} = v^2$

Скорость движения по круговой орбите связана с периодом обращения $T$ и радиусом $r$ следующим соотношением:

$v = \frac{2 \pi r}{T}$

Подставим это выражение для скорости в предыдущую формулу:

$G \frac{M_З}{r} = \left(\frac{2 \pi r}{T}\right)^2 = \frac{4 \pi^2 r^2}{T^2}$

Полученное выражение является обобщенным третьим законом Кеплера. Выразим из него радиус орбиты $r$:

$G M_З T^2 = 4 \pi^2 r^3$

$r^3 = \frac{G M_З T^2}{4 \pi^2}$

$r = \sqrt[3]{\frac{G M_З T^2}{4 \pi^2}}$

Подставим числовые значения:

$r = \sqrt[3]{\frac{6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24} \cdot (14400)^2}{4 \cdot (3.14)^2}} \approx \sqrt[3]{\frac{40.02 \cdot 10^{13} \cdot 2.0736 \cdot 10^8}{39.48}} \approx \sqrt[3]{\frac{82.99 \cdot 10^{21}}{39.48}}$

$r \approx \sqrt[3]{2.102 \cdot 10^{21}} \approx 1.28 \cdot 10^7 \, \text{м}$

Радиус орбиты $r$ — это сумма радиуса Земли $R_З$ и высоты орбиты $h$ над поверхностью:

$r = R_З + h$

Отсюда находим высоту $h$:

$h = r - R_З$

$h \approx 1.28 \cdot 10^7 \, \text{м} - 6.4 \cdot 10^6 \, \text{м} = 12.8 \cdot 10^6 \, \text{м} - 6.4 \cdot 10^6 \, \text{м} = 6.4 \cdot 10^6 \, \text{м}$

Высота орбиты спутника составляет $6.4 \cdot 10^6$ метров, или 6400 километров.

Ответ: $h \approx 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$ (или $6400 \text{ км}$).