Номер 236, страница 50 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v_{01} = v_{02} = v_0$

$h_1 = 5.0 \text{ м}$

Найти:

$h_2$ - ?

Решение:

Определим начальную скорость $v_0$, с которой брошены шарики. Движение первого шарика до максимальной высоты является равнозамедленным. В верхней точке траектории его скорость равна нулю. Связь между максимальной высотой подъема $h_1$, начальной скоростью $v_0$ и ускорением свободного падения $g$ выражается формулой:

$h_1 = \frac{v_0^2}{2g}$

Отсюда можем выразить квадрат начальной скорости:

$v_0^2 = 2gh_1$

Второй шарик бросают в тот момент, когда первый находится на максимальной высоте $h_1$. С этого момента начнем отсчет времени ($t=0$). Ось Y направим вертикально вверх, а начало координат ($y=0$) — в точке броска.

В этот момент времени ($t=0$) первый шарик начинает свободно падать с высоты $h_1$ с начальной скоростью, равной нулю. Его координата $y_1$ будет изменяться со временем по закону:

$y_1(t) = h_1 - \frac{gt^2}{2}$

Второй шарик бросают из начальной точки ($y=0$) с начальной скоростью $v_0$. Его координата $y_2$ будет изменяться со временем по закону:

$y_2(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

Шарики встретятся в тот момент времени $t_{встр}$, когда их координаты будут равны. Высоту встречи обозначим $h_2$.

$y_1(t_{встр}) = y_2(t_{встр}) = h_2$

Приравняем правые части уравнений движения:

$h_1 - \frac{gt_{встр}^2}{2} = v_0 t_{встр} - \frac{gt_{встр}^2}{2}$

Сократив одинаковые члены, получим:

$h_1 = v_0 t_{встр}$

Отсюда найдем время до встречи:

$t_{встр} = \frac{h_1}{v_0}$

Теперь можем найти высоту встречи $h_2$, подставив время встречи в уравнение движения для второго шарика (или первого):

$h_2 = y_2(t_{встр}) = v_0 t_{встр} - \frac{g t_{встр}^2}{2} = v_0 \left( \frac{h_1}{v_0} \right) - \frac{g}{2} \left( \frac{h_1}{v_0} \right)^2 = h_1 - \frac{gh_1^2}{2v_0^2}$

Теперь подставим в это выражение найденное ранее соотношение $v_0^2 = 2gh_1$:

$h_2 = h_1 - \frac{gh_1^2}{2(2gh_1)} = h_1 - \frac{gh_1^2}{4gh_1} = h_1 - \frac{h_1}{4} = \frac{3}{4}h_1$

Выполним численный расчет:

$h_2 = \frac{3}{4} \cdot 5.0 \text{ м} = 3.75 \text{ м}$

Ответ: шарики встретятся на высоте $h_2 = 3.75 \text{ м}$.