Номер 241, страница 51 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$h = 25 \text{ м}$

$v_0 = 20 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Примем $g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Найти:

а) $x(t)$ — зависимость координаты от времени, если начало отсчета в точке бросания.

б) $x(t)$ — зависимость координаты от времени, если начало отсчета на поверхности Земли.

$\Delta t$ — время полета мячика до падения на Землю.

Решение:

Запишем общее уравнение равноускоренного прямолинейного движения:

$x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_xt^2}{2}$

где $x(t)$ — координата тела в момент времени $t$, $x_0$ — начальная координата, $v_{0x}$ — проекция начальной скорости на ось $x$, $a_x$ — проекция ускорения на ось $x$.

Направим координатную ось $x$ вертикально вверх. В этом случае проекция начальной скорости положительна ($v_{0x} = v_0$), а проекция ускорения свободного падения отрицательна ($a_x = -g$).

Уравнение движения мячика примет вид:

$x(t) = x_0 + v_0t - \frac{gt^2}{2}$

а) Выберем начало отсчета ($x=0$) в точке бросания (на балконе).

В этом случае начальная координата мячика $x_0 = 0$. Подставим числовые значения в уравнение движения:

$x(t) = 0 + 20t - \frac{10t^2}{2}$

$x(t) = 20t - 5t^2$

Ответ: $x(t) = 20t - 5t^2$ (в единицах СИ).

б) Выберем начало отсчета ($x=0$) на поверхности Земли.

В этом случае мячик бросают с высоты $h$, поэтому его начальная координата $x_0 = h = 25 \text{ м}$. Подставим числовые значения в уравнение движения:

$x(t) = 25 + 20t - \frac{10t^2}{2}$

$x(t) = 25 + 20t - 5t^2$

Ответ: $x(t) = 25 + 20t - 5t^2$ (в единицах СИ).

Для определения времени падения мячика $\Delta t$ воспользуемся уравнением движения, где начало отсчета находится на поверхности Земли (случай б). В момент падения координата мячика будет равна нулю: $x(\Delta t) = 0$.

$25 + 20\Delta t - 5(\Delta t)^2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Для удобства умножим все члены на -1 и переставим их:

$5(\Delta t)^2 - 20\Delta t - 25 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5:

$(\Delta t)^2 - 4\Delta t - 5 = 0$

Найдем корни уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$

$\Delta t_{1} = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = 5$

$\Delta t_{2} = \frac{-(-4) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 6}{2} = -1$

Так как время не может быть отрицательным, физический смысл имеет только первый корень. Таким образом, мячик упадет на землю через 5 секунд.

Ответ: $\Delta t = 5 \text{ с}$.