Номер 246, страница 52 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$h = 2,5$ м

$l = 10$ м

Примем ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с².

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$v_0$ — модуль начальной скорости

$v$ — модуль конечной скорости

Решение:

Движение камня, брошенного горизонтально, можно рассматривать как результат сложения двух независимых движений: равномерного прямолинейного движения вдоль горизонтальной оси (ось OX) и равноускоренного движения (свободного падения) вдоль вертикальной оси (ось OY).

1. Определение времени полета.

Время полета камня $t$ зависит только от высоты броска $h$ и ускорения свободного падения $g$. Начальная скорость по вертикали равна нулю. Движение по вертикали описывается уравнением:

$h = \frac{gt^2}{2}$

Из этого уравнения выразим время полета $t$:

$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Подставим числовые значения:

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 2,5 \text{ м}}{9,8 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{5}{9,8}} \text{ с} \approx 0,714 \text{ с}$

2. Определение начальной скорости.

По горизонтали камень движется с постоянной скоростью $v_0$. За время полета $t$ он преодолевает расстояние $l$. Это движение описывается уравнением:

$l = v_0 t$

Отсюда находим модуль начальной скорости $v_0$:

$v_0 = \frac{l}{t} = l \cdot \sqrt{\frac{g}{2h}}$

Подставим числовые значения:

$v_0 = \frac{10 \text{ м}}{\sqrt{5/9,8} \text{ с}} = 10 \cdot \sqrt{\frac{9,8}{5}} \text{ м/с} = 10 \cdot \sqrt{1,96} \text{ м/с} = 10 \cdot 1,4 \text{ м/с} = 14 \text{ м/с}$

3. Определение конечной скорости.

Конечная скорость $v$ в момент падения на землю является векторной суммой горизонтальной ($v_x$) и вертикальной ($v_y$) составляющих скорости.

Горизонтальная составляющая скорости не изменяется в полете:

$v_x = v_0 = 14$ м/с

Вертикальная составляющая скорости в момент падения определяется по формуле:

$v_y = gt$

Подставим известные значения:

$v_y = g \cdot \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 2,5 \text{ м}} = \sqrt{49} \text{ м/с} = 7 \text{ м/с}$

Модуль конечной скорости $v$ найдем по теореме Пифагора:

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

Подставим значения составляющих:

$v = \sqrt{(14 \text{ м/с})^2 + (7 \text{ м/с})^2} = \sqrt{196 + 49} \text{ м/с} = \sqrt{245} \text{ м/с}$

Упростив корень, получаем: $v = \sqrt{49 \cdot 5} = 7\sqrt{5}$ м/с.

Вычислим приближенное значение: $v \approx 7 \cdot 2,236 \approx 15,65$ м/с.

Ответ: модуль начальной скорости $v_0 = 14$ м/с; модуль конечной скорости $v = 7\sqrt{5}$ м/с (приблизительно $15,7$ м/с).