Номер 245, страница 51 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$\Delta t = 0,50 \text{ с}$

$k = 1,5$

$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$v_0$

Решение:

Движение камня, брошенного в горизонтальном направлении, можно разложить на два независимых движения: равномерное прямолинейное движение вдоль горизонтальной оси (Ox) и равноускоренное прямолинейное движение вдоль вертикальной оси (Oy) под действием силы тяжести.

В начальный момент времени ($t=0$) вектор скорости $\vec{v_0}$ направлен горизонтально, поэтому его проекции на оси координат равны:

$v_{0x} = v_0$

$v_{0y} = 0$

В произвольный момент времени $t$ проекции скорости на оси Ox и Oy будут следующими:

$v_x(t) = v_{0x} = v_0$ (горизонтальная составляющая скорости не меняется, так как в этом направлении нет ускорения).

$v_y(t) = v_{0y} + gt = 0 + gt = gt$ (вертикальная составляющая скорости увеличивается под действием ускорения свободного падения $g$).

Модуль скорости (скорость) камня $v(t)$ в любой момент времени можно найти по теореме Пифагора, используя его горизонтальную и вертикальную составляющие:

$v(t) = \sqrt{v_x(t)^2 + v_y(t)^2} = \sqrt{v_0^2 + (gt)^2}$

По условию задачи, через промежуток времени $\Delta t = 0,50 \text{ с}$ модуль скорости $v$ стал в $k = 1,5$ раза больше модуля начальной скорости $v_0$. Математически это можно записать так:

$v(\Delta t) = k \cdot v_0$

Подставим в это уравнение выражение для $v(\Delta t)$:

$\sqrt{v_0^2 + (g\Delta t)^2} = k \cdot v_0$

Чтобы найти $v_0$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$v_0^2 + (g\Delta t)^2 = (k \cdot v_0)^2$

$v_0^2 + (g\Delta t)^2 = k^2 v_0^2$

Сгруппируем члены, содержащие $v_0^2$, в одной части уравнения:

$k^2 v_0^2 - v_0^2 = (g\Delta t)^2$

Вынесем $v_0^2$ за скобки:

$v_0^2 (k^2 - 1) = (g\Delta t)^2$

Выразим $v_0^2$ и затем извлечем квадратный корень, чтобы найти $v_0$:

$v_0^2 = \frac{(g\Delta t)^2}{k^2 - 1}$

$v_0 = \frac{g\Delta t}{\sqrt{k^2 - 1}}$

Подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$v_0 = \frac{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 0,50 \text{ с}}{\sqrt{1,5^2 - 1}} = \frac{4,9 \text{ м/с}}{\sqrt{2,25 - 1}} = \frac{4,9 \text{ м/с}}{\sqrt{1,25}} \approx \frac{4,9 \text{ м/с}}{1,118} \approx 4,38 \text{ м/с}$

Округляя результат до двух значащих цифр, в соответствии с точностью данных в условии, получаем:

$v_0 \approx 4,4 \text{ м/с}$

Ответ: модуль начальной скорости камня $v_0$ составляет примерно 4,4 м/с.