Номер 256, страница 53 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Высота башни: $H$
Начальная скорость: $\vec{v_0}$ (модуль скорости $v_0$)
Угол броска к горизонту: $\alpha$
Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Расстояние от основания башни: $l$

Решение:

Для решения задачи введем систему координат. Начало координат $(0, 0)$ разместим у основания башни. Ось $OY$ направим вертикально вверх, а ось $OX$ — горизонтально в направлении броска. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

В начальный момент времени $t=0$ камень находится в точке с координатами:
$x(0) = 0$
$y(0) = H$

Проекции начальной скорости на оси координат равны:
$v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$
$v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$

Движение камня можно разложить на два независимых движения: равномерное по горизонтали (ось $OX$) и равноускоренное по вертикали (ось $OY$) с ускорением $a_y = -g$.

Запишем уравнения, описывающие зависимость координат камня от времени $t$:
По оси $OX$: $x(t) = v_{0x} t = (v_0 \cos(\alpha)) t$
По оси $OY$: $y(t) = y(0) + v_{0y} t + \frac{a_y t^2}{2} = H + (v_0 \sin(\alpha)) t - \frac{gt^2}{2}$

Камень упадет на землю в тот момент времени $t_{пол}$, когда его вертикальная координата станет равна нулю, то есть $y(t_{пол}) = 0$.
$H + (v_0 \sin(\alpha)) t_{пол} - \frac{gt_{пол}^2}{2} = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно времени полета $t_{пол}$. Запишем его в стандартном виде $at^2+bt+c=0$:
$\frac{g}{2} t_{пол}^2 - (v_0 \sin(\alpha)) t_{пол} - H = 0$

Решим это уравнение, используя формулу для корней квадратного уравнения.
$t_{пол} = \frac{-(-v_0 \sin(\alpha)) \pm \sqrt{(-v_0 \sin(\alpha))^2 - 4(\frac{g}{2})(-H)}}{2(\frac{g}{2})}$
$t_{пол} = \frac{v_0 \sin(\alpha) \pm \sqrt{v_0^2 \sin^2(\alpha) + 2gH}}{g}$

Так как время полета $t_{пол}$ должно быть положительной величиной, выбираем корень со знаком "плюс" (поскольку $\sqrt{v_0^2 \sin^2(\alpha) + 2gH} > |v_0 \sin(\alpha)|$, корень со знаком "минус" даст отрицательное время).
$t_{пол} = \frac{v_0 \sin(\alpha) + \sqrt{v_0^2 \sin^2(\alpha) + 2gH}}{g}$

Теперь найдем расстояние $l$ (дальность полета), на которое камень улетит по горизонтали. Для этого подставим найденное время полета в уравнение для координаты $x(t)$:
$l = x(t_{пол}) = (v_0 \cos(\alpha)) t_{пол}$
$l = v_0 \cos(\alpha) \cdot \frac{v_0 \sin(\alpha) + \sqrt{v_0^2 \sin^2(\alpha) + 2gH}}{g}$

Ответ: $l = \frac{v_0 \cos(\alpha)}{g} \left( v_0 \sin(\alpha) + \sqrt{v_0^2 \sin^2(\alpha) + 2gH} \right)$