Номер 270, страница 55 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Частота вращения диска, $\nu = 30 \text{ мин}^{-1}$

Масса тела, $m = 0,10 \text{ кг}$

Расстояние от оси вращения, $r = 20 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:
Частота: $\nu = 30 \text{ мин}^{-1} = \frac{30}{60 \text{ с}} = 0,5 \text{ с}^{-1} = 0,5 \text{ Гц}$
Расстояние: $r = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}$

Найти:

Минимальный коэффициент трения $\mu_{min}$

Решение:

На тело, вращающееся вместе с диском, действует сила трения покоя $F_{тр}$, которая сообщает ему центростремительное ускорение $a_ц$. Эта сила направлена к центру окружности, по которой движется тело.

Согласно второму закону Ньютона:

$F_{тр} = m \cdot a_ц$

Центростремительное ускорение выражается через угловую скорость $\omega$ и радиус $r$ по формуле:

$a_ц = \omega^2 r$

Угловая скорость $\omega$ связана с частотой вращения $\nu$ соотношением:

$\omega = 2\pi\nu$

Подставив выражение для угловой скорости в формулу для ускорения, получим:

$a_ц = (2\pi\nu)^2 r = 4\pi^2\nu^2 r$

Таким образом, сила трения, необходимая для удержания тела на диске, равна:

$F_{тр} = m \cdot 4\pi^2\nu^2 r$

Эта сила не может превышать максимальную силу трения покоя $F_{тр.макс}$, которая определяется как:

$F_{тр.макс} = \mu N$

где $\mu$ - коэффициент трения, а $N$ - сила нормальной реакции опоры. Так как диск расположен горизонтально, сила нормальной реакции опоры равна по модулю силе тяжести:

$N = mg$

Следовательно, $F_{тр.макс} = \mu mg$.

Условие, при котором тело не будет сброшено с диска, заключается в том, что необходимая центростремительная сила (создаваемая силой трения) не превышает максимальную силу трения покоя:

$m \cdot 4\pi^2\nu^2 r \le \mu mg$

Минимальный коэффициент трения $\mu_{min}$ соответствует предельному случаю, когда эти силы равны:

$m \cdot 4\pi^2\nu^2 r = \mu_{min} mg$

Сократив массу $m$ в обеих частях уравнения, выразим $\mu_{min}$:

$\mu_{min} = \frac{4\pi^2\nu^2 r}{g}$

Подставим числовые значения (примем $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$):

$\mu_{min} = \frac{4 \cdot (3,14)^2 \cdot (0,5 \text{ Гц})^2 \cdot 0,2 \text{ м}}{9,8 \text{ м/с}^2} = \frac{4 \cdot 9,8596 \cdot 0,25 \cdot 0,2}{9,8} \approx \frac{1,972}{9,8} \approx 0,201$

Округляя до двух значащих цифр, получаем:

$\mu_{min} \approx 0,20$

Ответ: минимальный коэффициент трения должен быть равен 0,20.