Номер 286, страница 57 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Радиус центрифуги, $R = 6,0$ м

Кратность перегрузки, $Q = 10$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

Количество оборотов в минуту, $v$

Решение:

Перегрузка $Q$ показывает, во сколько раз центростремительное ускорение $a_c$, испытываемое космонавтом, больше ускорения свободного падения $g$. Следовательно, центростремительное ускорение, которое должен испытывать космонавт, равно:

$a_c = Q \cdot g$

Центростремительное ускорение при движении по окружности радиусом $R$ с угловой скоростью $\omega$ определяется формулой:

$a_c = \omega^2 R$

Приравняв правые части двух выражений для $a_c$, получим:

$\omega^2 R = Q \cdot g$

Отсюда можем выразить квадрат угловой скорости:

$\omega^2 = \frac{Q \cdot g}{R}$

Угловая скорость $\omega$ (в радианах в секунду) связана с количеством оборотов в минуту $v$ следующим соотношением. Сначала свяжем $\omega$ с частотой $f$ (оборотов в секунду):

$\omega = 2\pi f$

Поскольку в одной минуте 60 секунд, количество оборотов в минуту $v$ связано с частотой $f$ так:

$v = 60 f$, или $f = \frac{v}{60}$

Подставим выражение для $f$ в формулу для $\omega$:

$\omega = 2\pi \frac{v}{60} = \frac{\pi v}{30}$

Теперь подставим это выражение для $\omega$ в наше уравнение для ускорения:

$(\frac{\pi v}{30})^2 R = Q \cdot g$

$\frac{\pi^2 v^2}{900} R = Q \cdot g$

Выразим из этого уравнения $v^2$:

$v^2 = \frac{900 \cdot Q \cdot g}{\pi^2 R}$

Теперь найдем $v$, взяв квадратный корень:

$v = \sqrt{\frac{900 \cdot Q \cdot g}{\pi^2 R}} = \frac{30}{\pi} \sqrt{\frac{Q \cdot g}{R}}$

Подставим числовые значения в формулу:

$v = \frac{30}{\pi} \sqrt{\frac{10 \cdot 9,8 \text{ м/с²}}{6,0 \text{ м}}} = \frac{30}{\pi} \sqrt{\frac{98}{6}} \approx \frac{30}{3,1416} \sqrt{16,333} \approx 9,549 \cdot 4,041 \approx 38,58$ об/мин

Округлим результат до двух значащих цифр, так как радиус дан с точностью до десятых ($6,0$ м).

$v \approx 39$ об/мин

Ответ: центрифуга должна совершать примерно 39 оборотов в минуту.