Номер 290, страница 58 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:
Масса шарика $m = 0,20$ кг
Угол отклонения нити в крайнем положении $\alpha = 30^\circ$
Условие равенства модулей ускорений: $a_{крайн} = a_{нижн}$

Найти:
Модуль силы упругости нити в нижнем положении $F_{упр}$

Решение:

Рассмотрим движение шарика в крайнем положении (точке максимального отклонения). В этой точке скорость шарика равна нулю ($v_{крайн} = 0$). Ускорение тела в этой точке является тангенциальным (касательным), так как нормальная (центростремительная) составляющая ускорения $a_n = \frac{v^2}{l}$ равна нулю (где $l$ - длина нити). Тангенциальное ускорение создается составляющей силы тяжести, направленной по касательной к траектории: $F_t = mg \sin\alpha$. Согласно второму закону Ньютона, $m a_t = mg \sin\alpha$, откуда $a_t = g \sin\alpha$. Таким образом, модуль полного ускорения в крайнем положении равен $a_{крайн} = g \sin\alpha$.

Теперь рассмотрим движение шарика в нижнем положении. В этой точке на шарик действуют сила тяжести $m\vec{g}$ (вниз) и сила упругости нити $F_{упр}$ (вверх). Ускорение шарика в этой точке является нормальным (центростремительным), направлено вертикально вверх и равно по модулю $a_{нижн}$. Тангенциальное ускорение равно нулю. Применим второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вверх: $F_{упр} - mg = m a_{нижн}$. Отсюда, искомая сила упругости $F_{упр} = mg + m a_{нижн}$.

По условию задачи модули ускорений в крайнем и нижнем положениях равны: $a_{крайн} = a_{нижн}$. Используя это условие, мы можем подставить выражение для ускорения в крайнем положении в формулу для силы упругости, заменив $a_{нижн}$ на $a_{крайн}$: $a_{нижн} = a_{крайн} = g \sin\alpha$.

Тогда сила упругости в нижнем положении равна:
$F_{упр} = mg + m (g \sin\alpha) = mg(1 + \sin\alpha)$.

Подставим числовые значения. Примем ускорение свободного падения $g = 10 \frac{м}{с^2}$.
$F_{упр} = 0,20 \text{ кг} \cdot 10 \frac{м}{с^2} \cdot (1 + \sin(30^\circ)) = 2 \frac{Н \cdot с^2}{кг \cdot м} \cdot (1 + 0,5) = 2 \cdot 1,5 = 3,0$ Н.

Ответ: модуль силы упругости нити в нижнем положении равен $3,0$ Н.