Номер 295, страница 59 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Угол отклонения нити от вертикали в обоих случаях: $\alpha$
Масса груза: $m$
Ускорение свободного падения: $g$
Сила упругости нити в первом случае (математический маятник): $F_1$
Сила упругости нити во втором случае (конический маятник): $F_2$

Найти:

Отношение модулей сил упругости: $\frac{F_1}{F_2}$

Решение:

Рассмотрим первый случай: математический маятник. В условии сказано, что нить отклоняется от вертикали на угол $\alpha$. Это максимальный угол отклонения (амплитуда колебаний). В этой крайней точке траектории груз на мгновение останавливается, и его скорость равна нулю ($v_1 = 0$). На груз действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила упругости (натяжения) нити $\vec{F_1}$, направленная вдоль нити к точке подвеса. Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, направленную вдоль нити к точке подвеса. Поскольку скорость груза в этой точке равна нулю, его центростремительное ускорение также равно нулю ($a_ц = \frac{v_1^2}{L} = 0$). Проекция силы тяжести на эту ось равна $mg \cos(\alpha)$ и направлена от точки подвеса. Уравнение сил в проекции на эту ось имеет вид:

$F_1 - mg \cos(\alpha) = 0$

Отсюда находим модуль силы упругости нити в первом случае:

$F_1 = mg \cos(\alpha)$

Рассмотрим второй случай: конический маятник. Груз равномерно вращается по окружности в горизонтальной плоскости, при этом нить отклонена от вертикали на постоянный угол $\alpha$. На груз действуют сила тяжести $m\vec{g}$ и сила упругости нити $\vec{F_2}$. Поскольку груз движется только в горизонтальной плоскости, его вертикальное ускорение равно нулю. Это означает, что вертикальная составляющая силы упругости нити уравновешивает силу тяжести. Запишем условие равновесия сил в проекции на вертикальную ось (направленную вверх):

$F_2 \cos(\alpha) - mg = 0$

Отсюда выражаем модуль силы упругости нити во втором случае:

$F_2 = \frac{mg}{\cos(\alpha)}$

Теперь можем найти искомое отношение модулей сил $\frac{F_1}{F_2}$:

$\frac{F_1}{F_2} = \frac{mg \cos(\alpha)}{\frac{mg}{\cos(\alpha)}} = mg \cos(\alpha) \cdot \frac{\cos(\alpha)}{mg} = \cos^2(\alpha)$

Ответ: $\frac{F_1}{F_2} = \cos^2(\alpha)$