Номер 369, страница 71 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$d = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}$

$V_л = 1.2 \cdot 10^4 \text{ см}^3 = 1.2 \cdot 10^{-2} \text{ м}^3$

$V_{ст} = 50 \text{ см}^3 = 5 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$

Плотность воды: $ρ_в = 1000 \text{ кг/м}^3$

Плотность льда: $ρ_л = 900 \text{ кг/м}^3$

Плотность стали: $ρ_{ст} = 7800 \text{ кг/м}^3$

Найти:

$V_1$ - объем льдинки, выступающий над водой.

$\Delta h$ - изменение уровня воды.

Решение:

Какой объем $V_1$ льдинки выступает над водой?

Льдинка с вмерзшим шариком плавает в воде, значит, сила Архимеда $F_A$, действующая на погруженную часть, уравновешивает суммарную силу тяжести льдинки $F_{т.л}$ и шарика $F_{т.ст}$.

$F_A = F_{т.л} + F_{т.ст}$

Сила Архимеда равна весу вытесненной воды: $F_A = ρ_в g V_{sub}$, где $V_{sub}$ - погруженный объем. Силы тяжести: $F_{т.л} = m_л g = ρ_л V_л g$ и $F_{т.ст} = m_{ст} g = ρ_{ст} V_{ст} g$.

Подставим выражения в условие равновесия:

$ρ_в g V_{sub} = ρ_л V_л g + ρ_{ст} V_{ст} g$

Сократив на $g$, найдем погруженный объем $V_{sub}$:

$V_{sub} = \frac{ρ_л V_л + ρ_{ст} V_{ст}}{ρ_в}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$V_{sub} = \frac{900 \text{ кг/м}^3 \cdot 1.2 \cdot 10^{-2} \text{ м}^3 + 7800 \text{ кг/м}^3 \cdot 5 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3}{1000 \text{ кг/м}^3} = \frac{10.8 \text{ кг} + 0.39 \text{ кг}}{1000 \text{ кг/м}^3} = \frac{11.19 \text{ кг}}{1000 \text{ кг/м}^3} = 0.01119 \text{ м}^3$

Объем льдинки, выступающий над водой $V_1$, равен разности общего объема льдинки $V_л$ и погруженного объема $V_{sub}$:

$V_1 = V_л - V_{sub} = 1.2 \cdot 10^{-2} \text{ м}^3 - 0.01119 \text{ м}^3 = 0.012 \text{ м}^3 - 0.01119 \text{ м}^3 = 0.00081 \text{ м}^3$

Переведем в см³ для наглядности: $V_1 = 0.00081 \cdot (100 \text{ см})^3 = 810 \text{ см}^3$.

Ответ: объем льдинки, выступающий над водой, равен $810 \text{ см}^3$.

Как изменится уровень воды в сосуде, если лед растает?

Изменение уровня воды зависит от изменения объема, занимаемого телами под водой. Сравним объем, вытесняемый льдинкой с шариком до таяния ($V_{sub}$), с объемом, который будут занимать вода из растаявшего льда и стальной шарик после таяния ($V_{final}$).

Начальный вытесненный объем мы уже нашли: $V_{sub} = 0.01119 \text{ м}^3$.

После таяния льда образуется вода объемом $V_{в.л}$. Масса льда $m_л$ равна массе образовавшейся воды $m_{в.л}$.

$m_л = ρ_л V_л = 900 \text{ кг/м}^3 \cdot 1.2 \cdot 10^{-2} \text{ м}^3 = 10.8 \text{ кг}$

$V_{в.л} = \frac{m_л}{ρ_в} = \frac{10.8 \text{ кг}}{1000 \text{ кг/м}^3} = 0.0108 \text{ м}^3$

Стальной шарик утонет и будет вытеснять объем воды, равный его собственному объему $V_{ст}$.

Таким образом, конечный объем, занимаемый под водой, будет равен сумме объема воды от таяния льда и объема стального шарика:

$V_{final} = V_{в.л} + V_{ст} = 0.0108 \text{ м}^3 + 5 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3 = 0.0108 \text{ м}^3 + 0.00005 \text{ м}^3 = 0.01085 \text{ м}^3$

Найдем изменение объема под водой:

$\Delta V = V_{final} - V_{sub} = 0.01085 \text{ м}^3 - 0.01119 \text{ м}^3 = -0.00034 \text{ м}^3$

Так как изменение объема отрицательно, общий объем под водой уменьшится, и уровень воды в сосуде понизится.

Найдем, на сколько изменится уровень воды $\Delta h$. Для этого разделим изменение объема $\Delta V$ на площадь основания цилиндрического сосуда $S$.

$S = \pi R^2 = \pi (\frac{d}{2})^2 = \pi (\frac{0.5 \text{ м}}{2})^2 = \pi (0.25 \text{ м})^2 \approx 0.19635 \text{ м}^2$

$\Delta h = \frac{\Delta V}{S} = \frac{-0.00034 \text{ м}^3}{0.19635 \text{ м}^2} \approx -0.00173 \text{ м}$

Переведем в сантиметры: $\Delta h \approx -0.173 \text{ см}$.

Ответ: уровень воды в сосуде понизится примерно на $0.173$ см.