Номер 372, страница 71 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса палочки: $m$

Угол наклона палочки к горизонту: $\alpha$

Палочка погружена в воду на половину своей длины.

Найти:

$F_д$ - модуль силы, с которой верхний конец палочки давит на стенку.

Решение:

Палочка находится в состоянии статического равновесия. На нее действуют четыре силы:

1. Сила тяжести $mg$, приложенная к центру масс палочки (середине палочки) и направленная вертикально вниз.
2. Выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_A$, приложенная к центру погруженной части палочки и направленная вертикально вверх.
3. Сила реакции стенки $N$, направленная перпендикулярно стенке (горизонтально). По третьему закону Ньютона, искомая сила $F_д$ равна по модулю силе $N$.
4. Сила реакции $R$ со стороны угла сосуда, где палочка опирается на дно.

Для равновесия необходимо, чтобы сумма моментов всех сил относительно любой точки была равна нулю. Выберем в качестве точки вращения нижний конец палочки (точку опоры). Это удобно, так как момент силы реакции опоры $R$ будет равен нулю, и нам не потребуется ее находить.

Пусть длина палочки равна $L$.

Сила тяжести $mg$ приложена на расстоянии $L/2$ от точки опоры. Плечо этой силы равно $d_g = \frac{L}{2}\cos(\alpha)$. Момент силы тяжести $M_g$ стремится повернуть палочку по часовой стрелке.

$M_g = mg \cdot d_g = mg \frac{L}{2}\cos(\alpha)$

Палочка погружена наполовину, значит, выталкивающая сила $F_A$ приложена к середине погруженной части, то есть на расстоянии $L/4$ от точки опоры. Плечо этой силы равно $d_A = \frac{L}{4}\cos(\alpha)$. Момент выталкивающей силы $M_A$ стремится повернуть палочку против часовой стрелки.

$M_A = F_A \cdot d_A = F_A \frac{L}{4}\cos(\alpha)$

Сила реакции стенки $N$ приложена к верхнему концу палочки на расстоянии $L$ от точки опоры. Плечо этой силы равно $d_N = L\sin(\alpha)$. Момент силы реакции стенки $M_N$ стремится повернуть палочку против часовой стрелки.

$M_N = N \cdot d_N = N L\sin(\alpha)$

Запишем уравнение равновесия моментов (сумма моментов, вращающих против часовой стрелки, равна сумме моментов, вращающих по часовой стрелке):

$M_A + M_N = M_g$

$F_A \frac{L}{4}\cos(\alpha) + N L\sin(\alpha) = mg \frac{L}{2}\cos(\alpha)$

Теперь определим выталкивающую силу $F_A$. Так как палочка однородна и находится в равновесии, будучи погруженной наполовину, это означает, что ее плотность $\rho_{пал}$ вдвое меньше плотности воды $\rho_{воды}$. В этом случае выталкивающая сила, действующая на половину объема палочки, уравновешивает вес всей палочки.

$F_A = \rho_{воды} g V_{погр} = \rho_{воды} g \frac{V_{пал}}{2}$

$m = \rho_{пал} g V_{пал} = \frac{\rho_{воды}}{2} g V_{пал}$

Из этих двух выражений следует, что $F_A = mg$.

Подставим $F_A = mg$ в уравнение моментов:

$mg \frac{L}{4}\cos(\alpha) + N L\sin(\alpha) = mg \frac{L}{2}\cos(\alpha)$

Сократим обе части уравнения на $L$:

$N \sin(\alpha) = mg \frac{1}{2}\cos(\alpha) - mg \frac{1}{4}\cos(\alpha)$

$N \sin(\alpha) = \cos(\alpha) \left( \frac{mg}{2} - \frac{mg}{4} \right)$

$N \sin(\alpha) = \cos(\alpha) \frac{mg}{4}$

Выразим $N$:

$N = \frac{mg}{4} \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{mg}{4} \cot(\alpha)$

По третьему закону Ньютона, сила давления палочки на стенку $F_д$ равна по модулю силе реакции стенки $N$.

$F_д = N = \frac{mg}{4} \cot(\alpha)$

Ответ: $F_д = \frac{mg}{4} \cot(\alpha)$.