Номер 379, страница 72 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса резинового мяча: $m$
Радиус мяча: $R$
Глубина погружения центра мяча: $h$
Плотность воды: $ρ_в$
Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Высоту, на которую подпрыгнет мяч: $h_1$

Решение:

Данная задача решается с помощью закона сохранения полной механической энергии. Так как по условию сопротивление воды и воздуха не учитывается, то полная механическая энергия замкнутой системы, состоящей из мяча, воды и Земли, сохраняется.

Примем за нулевой уровень потенциальной энергии поверхность воды.

1. Начальное состояние системы.
Мяч покоится на глубине $h$ (положение его центра масс). Его начальная скорость равна нулю. Полная механическая энергия системы $E_1$ в этом положении складывается из потенциальной энергии мяча относительно поверхности воды и потенциальной энергии вытесненного им объема воды.
Потенциальная энергия мяча отрицательна, так как он находится ниже нулевого уровня: $E_{p,мяч} = -mgh$.
При погружении мяча, он вытесняет объем воды $V$, равный объему мяча. Это эквивалентно подъему массы воды $m_в = ρ_в V$ на высоту $h$. Таким образом, система приобретает потенциальную энергию за счет работы силы Архимеда: $E_{p,воды} = m_в g h = ρ_в V g h$.
Объем мяча, который является шаром, вычисляется по формуле: $V = \frac{4}{3} \pi R^3$.
Кинетическая энергия системы в начальный момент равна нулю.
Следовательно, полная начальная энергия системы равна:
$E_1 = E_{p,мяч} + E_{p,воды} = ρ_в V g h - m g h = (ρ_в V - m)gh$.

2. Конечное состояние системы.
Мяч достигает максимальной высоты $h_1$ над поверхностью воды. В этой точке его скорость становится равной нулю. Полная механическая энергия системы $E_2$ в этом положении равна потенциальной энергии мяча, так как он находится на высоте $h_1$ над нулевым уровнем.
$E_2 = mgh_1$.

3. Применение закона сохранения энергии.
Согласно закону сохранения энергии, начальная энергия системы равна конечной энергии:
$E_1 = E_2$
$(ρ_в V - m)gh = mgh_1$
Сократив $g$, выразим искомую высоту $h_1$:
$h_1 = \frac{(ρ_в V - m)h}{m} = (\frac{ρ_в V}{m} - 1)h$
Теперь подставим выражение для объема шара $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ в полученную формулу:
$h_1 = (\frac{ρ_в \cdot \frac{4}{3} \pi R^3}{m} - 1)h = (\frac{4 \pi ρ_в R^3}{3m} - 1)h$
Заметим, что мяч подпрыгнет только в том случае, если его плотность меньше плотности воды ($m/V < ρ_в$), иначе он утонет.

Ответ: $h_1 = (\frac{4 \pi ρ_в R^3}{3m} - 1)h$.