Номер 378, страница 72 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Объем шарика, $V = 1,0 \text{ см}^3$

Расстояние, $h = 10 \text{ м}$

Количество теплоты, $Q = 0,17 \text{ Дж}$

Плотность воды, $\rho_в \approx 1000 \text{ кг/м}^3$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:

$V = 1,0 \text{ см}^3 = 1,0 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 10^{-6} \text{ м}^3$

Найти:

Плотность стекла, $\rho$ — ?

Решение:

По условию задачи, стеклянный шарик падает в воде равномерно. Это означает, что его скорость постоянна, а ускорение равно нулю. Согласно первому закону Ньютона, если тело движется равномерно и прямолинейно, то равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю.

На шарик в воде действуют три силы:

1. Сила тяжести ($F_т$), направленная вертикально вниз.
2. Выталкивающая сила или сила Архимеда ($F_А$), направленная вертикально вверх.
3. Сила сопротивления воды ($F_с$), направленная вертикально вверх (против движения).

Запишем условие равновесия сил в проекции на вертикальную ось:

$F_т = F_А + F_с$

Выделившееся количество теплоты $Q$ является результатом работы силы сопротивления воды $A_с$ на расстоянии $h$. Таким образом, $Q = A_с = F_с \cdot h$.

Из условия равновесия сил выразим силу сопротивления:

$F_с = F_т - F_А$

Подставим это выражение в формулу для теплоты:

$Q = (F_т - F_А) \cdot h$

Силу тяжести и силу Архимеда можно выразить через плотности и объем. Масса шарика $m = \rho \cdot V$, где $\rho$ — искомая плотность стекла. Тогда сила тяжести $F_т = mg = \rho V g$.

Сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости: $F_А = \rho_в V g$, где $\rho_в$ — плотность воды.

Подставим выражения для сил в нашу формулу:

$Q = (\rho V g - \rho_в V g) \cdot h$

Вынесем общие множители за скобки:

$Q = (\rho - \rho_в) \cdot Vgh$

Теперь выразим из этого уравнения плотность стекла $\rho$:

$\rho - \rho_в = \frac{Q}{Vgh}$

$\rho = \rho_в + \frac{Q}{Vgh}$

Подставим числовые значения из условия задачи и справочные данные в полученную формулу:

$\rho = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} + \frac{0,17 \text{ Дж}}{10^{-6} \text{ м}^3 \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 10 \text{ м}}$

$\rho = 1000 + \frac{0,17}{10^{-4}} = 1000 + 0,17 \cdot 10^4 = 1000 + 1700 = 2700 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Ответ: плотность стекла $\rho$ равна $2700 \text{ кг/м}^3$.