Номер 375, страница 72 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m = 2.0 \text{ кг}$
$V = 1.0 \text{ дм}^3$
$h_1 = 5.0 \text{ м}$
$h_2 = 5.0 \text{ м}$
$\rho_в \approx 1000 \text{ кг/м}^3$ (плотность пресной воды)
$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

$V = 1.0 \text{ дм}^3 = 1.0 \times 10^{-3} \text{ м}^3$

Найти:

$A$ — ?
Равна ли работа $A$ изменению потенциальной энергии $\Delta E_p$?

Решение:

Какую минимальную работу должна совершить внешняя сила F при подъеме тела на высоту h₂ = 5,0 м над поверхностью воды?
Минимальная работа совершается при медленном подъеме, когда кинетическая энергия тела не изменяется. Весь процесс подъема можно разделить на два этапа.
1. Подъем тела в воде с глубины $h_1$ до поверхности. На тело действуют: сила тяжести $F_т = mg$ (вниз), выталкивающая сила Архимеда $F_А = \rho_в g V$ (вверх) и внешняя сила $F_1$ (вверх). Для медленного подъема сумма сил равна нулю: $F_1 + F_А - F_т = 0$. Отсюда $F_1 = mg - \rho_в g V$. Работа $A_1$, совершаемая внешней силой на этом этапе, равна $A_1 = F_1 \cdot h_1 = (mg - \rho_в g V)h_1$.
2. Подъем тела из воды на высоту $h_2$ в воздухе. В воздухе выталкивающей силой можно пренебречь. На тело действуют сила тяжести $F_т = mg$ и внешняя сила $F_2$. Для медленного подъема $F_2 = mg$. Работа $A_2$ на этом этапе равна $A_2 = F_2 \cdot h_2 = mgh_2$.
Общая работа $A$ равна сумме работ на двух этапах: $A = A_1 + A_2 = (mg - \rho_в g V)h_1 + mgh_2$.
Подставим числовые значения:
$A = (2.0 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с²} - 1000 \text{ кг/м³} \cdot 9.8 \text{ м/с²} \cdot 1.0 \cdot 10^{-3} \text{ м³}) \cdot 5.0 \text{ м} + 2.0 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с²} \cdot 5.0 \text{ м}$
$A = (19.6 \text{ Н} - 9.8 \text{ Н}) \cdot 5.0 \text{ м} + 98 \text{ Дж}$
$A = 9.8 \text{ Н} \cdot 5.0 \text{ м} + 98 \text{ Дж}$
$A = 49 \text{ Дж} + 98 \text{ Дж} = 147 \text{ Дж}$.
Ответ: Минимальная работа, которую должна совершить внешняя сила, равна 147 Дж.

Равна ли совершенная при этом работа изменению потенциальной энергии тела?
Изменение потенциальной энергии $\Delta E_p$ определяется только начальным и конечным положением тела в поле силы тяжести. Примем за нулевой уровень потенциальной энергии поверхность воды ($h=0$).
Начальная потенциальная энергия тела на глубине $h_1$: $E_{p1} = -mgh_1$.
Конечная потенциальная энергия тела на высоте $h_2$ над водой: $E_{p2} = mgh_2$.
Изменение потенциальной энергии: $\Delta E_p = E_{p2} - E_{p1} = mgh_2 - (-mgh_1) = mg(h_1 + h_2)$.
Рассчитаем значение:
$\Delta E_p = 2.0 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с²} \cdot (5.0 \text{ м} + 5.0 \text{ м}) = 19.6 \text{ Н} \cdot 10.0 \text{ м} = 196 \text{ Дж}$.
Сравнивая найденные величины, получаем: $A = 147 \text{ Дж}$ и $\Delta E_p = 196 \text{ Дж}$. Следовательно, $A < \Delta E_p$.
Работа внешней силы не равна изменению потенциальной энергии, так как при движении тела в воде на него действовала сила Архимеда. Эта сила совершила положительную работу $A_А = F_А \cdot h_1 = 9.8 \text{ Н} \cdot 5.0 \text{ м} = 49 \text{ Дж}$, "помогая" поднимать тело и уменьшая необходимую работу внешней силы. Соотношение между работой $A$, изменением потенциальной энергии $\Delta E_p$ и работой силы Архимеда $A_А$ выражается так: $A = \Delta E_p - A_А$.
Ответ: Нет, совершенная работа не равна изменению потенциальной энергии тела. Работа (147 Дж) меньше, чем изменение потенциальной энергии (196 Дж).