Номер 376, страница 72 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Плотность шарика: $\rho$
Плотность воды: $\rho_в$
Высота падения: $h$
Условие: $\rho < \rho_в$

Найти:

Глубина погружения: $h_1$

Решение:

Воспользуемся законом сохранения энергии. Сравним полную механическую энергию шарика в двух состояниях: в начальный момент на высоте $h$ над водой и в конечный момент на максимальной глубине погружения $h_1$.

За нулевой уровень потенциальной энергии примем поверхность воды.

1. В начальном состоянии (на высоте $h$) шарик покоится, поэтому его кинетическая энергия равна нулю. Полная энергия равна потенциальной энергии:

$E_{нач} = E_п = mgh$

где $m$ - масса шарика, $g$ - ускорение свободного падения.

2. В конечном состоянии (на глубине $h_1$) шарик на мгновение останавливается, поэтому его кинетическая энергия также равна нулю. Потенциальная энергия шарика относительно поверхности воды отрицательна:

$E_{кон} = -mgh_1$

При движении шарика от поверхности воды до глубины $h_1$ на него действует выталкивающая сила Архимеда $F_A = \rho_в V g$, где $V$ - объем шарика. Эта сила совершает отрицательную работу, так как направлена против движения:

$W_A = -F_A \cdot h_1 = -\rho_в V g h_1$

Согласно теореме об изменении механической энергии, изменение полной механической энергии тела равно работе всех неконсервативных сил. В данном случае такой силой является сила Архимеда.

$E_{кон} - E_{нач} = W_A$

Подставим выражения для энергий и работы:

$-mgh_1 - mgh = -\rho_в V g h_1$

Массу шарика можно выразить через его плотность $\rho$ и объем $V$:

$m = \rho V$

Подставим это выражение в уравнение:

$-\rho V g h_1 - \rho V g h = -\rho_в V g h_1$

Разделим обе части уравнения на $-Vg$ (поскольку $V \neq 0$ и $g \neq 0$):

$\rho h_1 + \rho h = \rho_в h_1$

Сгруппируем слагаемые с $h_1$ и выразим искомую глубину:

$\rho h = \rho_в h_1 - \rho h_1$

$\rho h = h_1 (\rho_в - \rho)$

$h_1 = \frac{\rho h}{\rho_в - \rho}$

Ответ: $h_1 = h \frac{\rho}{\rho_в - \rho}$