Номер 374, страница 72 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

Площадь поперечного сечения льдины, $S = 1.0 \text{ м}^2$

Толщина льдины, $h = 0.40 \text{ м}$

Льдина плавает в воде.

Все данные представлены в системе СИ. Для решения задачи потребуются также следующие табличные значения:

Плотность пресной воды, $\rho_в \approx 1000 \text{ кг/м}^3$

Плотность льда, $\rho_л \approx 900 \text{ кг/м}^3$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

Наименьшую работу $A$, которую должна совершить внешняя сила, чтобы полностью погрузить льдину в воду.

Решение

Работа внешней силы $A$ пойдет на погружение льдины от ее начального положения равновесия до полного погружения в воду.

1. Определим начальное положение льдины. Когда льдина плавает, сила тяжести $F_g$, действующая на нее, уравновешена выталкивающей силой Архимеда $F_{A1}$.

Сила тяжести: $F_g = m_л g = \rho_л V_л g = \rho_л S h g$, где $V_л = S h$ - полный объем льдины.

Сила Архимеда: $F_{A1} = \rho_в g V_{погр1}$, где $V_{погр1} = S h_1$ - объем погруженной части льдины, а $h_1$ - глубина погружения.

Из условия равновесия $F_g = F_{A1}$:

$\rho_л S h g = \rho_в g S h_1$

Отсюда находим начальную глубину погружения льдины:

$h_1 = h \frac{\rho_л}{\rho_в}$

2. Чтобы полностью погрузить льдину, ее необходимо опустить на дополнительную глубину $\Delta h = h - h_1$.

$\Delta h = h - h \frac{\rho_л}{\rho_в} = h \left(1 - \frac{\rho_л}{\rho_в}\right)$

При дополнительном погружении на глубину $x$ (где $0 \le x \le \Delta h$), результирующая сила (сумма силы тяжести и силы Архимеда) будет направлена вверх, так как выталкивающая сила станет больше силы тяжести. Внешняя сила $F$ должна компенсировать эту разность, то есть быть направленной вниз.

$F(x) = F_A(x) - F_g = \rho_в g S (h_1 + x) - \rho_л S h g$

Так как $\rho_л S h g = \rho_в g S h_1$, то:

$F(x) = \rho_в g S (h_1 + x) - \rho_в g S h_1 = \rho_в g S x$

3. Внешняя сила $F(x)$ изменяется линейно от 0 (при $x=0$) до $F_{кон}$ (при $x=\Delta h$). Наименьшая работа, необходимая для погружения, равна работе этой силы.

Работу переменной силы можно найти как площадь под графиком зависимости силы от перемещения. В данном случае это площадь прямоугольного треугольника с катетами $F_{кон}$ и $\Delta h$.

$A = \frac{1}{2} F_{кон} \cdot \Delta h$

Конечная сила $F_{кон}$ при $x = \Delta h$:

$F_{кон} = \rho_в g S \Delta h = \rho_в g S h \left(1 - \frac{\rho_л}{\rho_в}\right) = g S h (\rho_в - \rho_л)$

Подставим выражения для $F_{кон}$ и $\Delta h$ в формулу для работы:

$A = \frac{1}{2} [g S h (\rho_в - \rho_л)] \cdot \left[h \left(1 - \frac{\rho_л}{\rho_в}\right)\right] = \frac{g S h^2 (\rho_в - \rho_л)^2}{2 \rho_в}$

4. Выполним вычисления:

$A = \frac{10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 1.0 \text{ м}^2 \cdot (0.40 \text{ м})^2 \cdot (1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} - 900 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3})^2}{2 \cdot 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}}$

$A = \frac{10 \cdot 1.0 \cdot 0.16 \cdot (100)^2}{2000} = \frac{1.6 \cdot 10000}{2000} = \frac{16000}{2000} = 8 \text{ Дж}$

Ответ: $8 \text{ Дж}$.