Номер 384, страница 73 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$ρ_{ш} = 0,40 \frac{г}{см^3} = 400 \frac{кг}{м^3}$
$h = 1,0 \, м$
$v_0 = 4,0 \frac{м}{с}$
$ρ_{в} = 1 \frac{г}{см^3} = 1000 \frac{кг}{м^3}$ (плотность воды)
$g \approx 10 \frac{м}{с^2}$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$l$ - ?

Решение:

Движение шарика можно разложить на два независимых движения: равномерное по горизонтали и равноускоренное по вертикали. Сопротивлением воды пренебрегаем по условию.

1. Горизонтальное движение.
По горизонтали на шарик не действуют никакие силы, поэтому он движется с постоянной скоростью $v_0$. Расстояние $l$, которое он пройдет по горизонтали, определяется формулой:
$l = v_0 \cdot t$
где $t$ – время движения шарика в воде, то есть время, за которое он поднимется с глубины $h$ до поверхности.

2. Вертикальное движение.
По вертикали на шарик действуют две силы: сила тяжести $F_т$, направленная вниз, и выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_A$, направленная вверх.
$F_т = m g = \rho_ш V g$
$F_A = \rho_в V g$
где $V$ – объем шарика.

Так как плотность шарика $ρ_{ш}$ меньше плотности воды $ρ_{в}$, выталкивающая сила больше силы тяжести ($F_A > F_т$), и шарик будет двигаться вверх с ускорением $a$.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сила равна:
$F_{равн} = F_A - F_т = m a$
Подставим выражения для сил и массы:
$\rho_в V g - \rho_ш V g = \rho_ш V a$
Сократим на объем $V$:
$(\rho_в - \rho_ш) g = \rho_ш a$
Отсюда найдем ускорение шарика $a$:
$a = \frac{(\rho_в - \rho_ш) g}{\rho_ш}$

Шарик начинает движение вверх с начальной вертикальной скоростью, равной нулю, и проходит расстояние $h$. Время движения $t$ можно найти из формулы для равноускоренного движения:
$h = \frac{a t^2}{2}$
Выразим время $t$:
$t = \sqrt{\frac{2h}{a}} = \sqrt{\frac{2h \rho_ш}{(\rho_в - \rho_ш)g}}$

3. Расчет горизонтального расстояния.
Подставим выражение для времени $t$ в формулу для горизонтального расстояния $l$:
$l = v_0 \cdot t = v_0 \sqrt{\frac{2h \rho_ш}{(\rho_в - \rho_ш)g}}$

Произведем вычисления:
$l = 4,0 \frac{м}{с} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 1,0 \, м \cdot 400 \frac{кг}{м^3}}{(1000 \frac{кг}{м^3} - 400 \frac{кг}{м^3}) \cdot 10 \frac{м}{с^2}}} = 4,0 \cdot \sqrt{\frac{800}{600 \cdot 10}} = 4,0 \cdot \sqrt{\frac{800}{6000}} = 4,0 \cdot \sqrt{\frac{2}{15}} \, м$
$\sqrt{\frac{2}{15}} \approx \sqrt{0,1333} \approx 0,365$
$l \approx 4,0 \cdot 0,365 \, м \approx 1,46 \, м$

Ответ: $l \approx 1,46 \, м$.