Номер 562, страница 103 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса пули: $m = 5,0 \text{ г}$
Масса шара: $M = 0,50 \text{ кг}$
Скорость пули: $v = 0,50 \frac{\text{км}}{\text{с}}$

Перевод в систему СИ:
$m = 5,0 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0,005 \text{ кг}$
$M = 0,50 \text{ кг}$
$v = 0,50 \cdot 10^3 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 500 \frac{\text{м}}{\text{с}}$
Ускорение свободного падения: $g \approx 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Найти:

$l$ - ?

Решение:

Задачу можно разделить на два этапа: абсолютно неупругое столкновение пули с шаром и последующее движение системы «шар с пулей» по окружности.

1. Абсолютно неупругое столкновение.

Поскольку столкновение происходит очень быстро, мы можем применить закон сохранения импульса для системы «пуля-шар» в проекции на горизонтальную ось. Импульс системы до столкновения равен импульсу пули, так как шар покоился. После столкновения пуля застревает в шаре, и они движутся вместе со скоростью $u$.

$p_{до} = p_{после}$

$m v = (m + M) u$

Отсюда можем выразить скорость системы «шар с пулей» сразу после столкновения:

$u = \frac{m v}{m + M}$

2. Движение по окружности.

После столкновения система обладает кинетической энергией, которая переходит в потенциальную энергию при подъеме. Применим закон сохранения механической энергии. За нулевой уровень потенциальной энергии примем начальное положение центра шара (нижняя точка траектории).

Энергия системы в нижней точке (сразу после удара):

$E_1 = E_к = \frac{(m + M) u^2}{2}$

По условию, шар поднялся до верхней точки окружности. Это означает, что высота подъема $h$ равна диаметру окружности, то есть $h = 2l$. Так как стержень жесткий, то для достижения верхней точки достаточно, чтобы скорость в этой точке была равна нулю. Таким образом, вся кинетическая энергия перейдет в потенциальную.

Энергия системы в верхней точке:

$E_2 = E_п = (m + M) g h = (m + M) g (2l)$

Согласно закону сохранения энергии:

$E_1 = E_2$

$\frac{(m + M) u^2}{2} = (m + M) g (2l)$

Сократим массу $(m + M)$:

$\frac{u^2}{2} = 2gl$

Отсюда выразим искомое расстояние $l$:

$l = \frac{u^2}{4g}$

Теперь подставим в эту формулу выражение для скорости $u$, полученное из закона сохранения импульса:

$l = \frac{1}{4g} \left( \frac{m v}{m + M} \right)^2$

Подставим числовые значения и произведем расчеты:

$l = \frac{1}{4 \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} \left( \frac{0,005 \text{ кг} \cdot 500 \frac{\text{м}}{\text{с}}}{0,005 \text{ кг} + 0,50 \text{ кг}} \right)^2 = \frac{1}{39,2} \left( \frac{2,5}{0,505} \right)^2$

$l \approx \frac{1}{39,2} \cdot (4,9505)^2 \approx \frac{24,507}{39,2} \approx 0,625 \text{ м}$

С учетом точности исходных данных (две значащие цифры), округляем результат.

Ответ: расстояние $l$ от точки подвеса до центра шара равно приблизительно 0,63 м.