Номер 568, страница 104 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Модуль скорости первого тела до удара: $v_1 = 2,0 \, \text{м/с}$
Модуль скорости второго тела до удара: $v_2 = 4,0 \, \text{м/с}$
Модуль общей скорости тел после удара: $v = 1,0 \, \text{м/с}$

Все данные предоставлены в системе СИ.

Найти:

Отношение кинетических энергий $n$.

Решение:

Поскольку после столкновения тела движутся вместе с общей скоростью, данный удар является абсолютно неупругим. Для нахождения отношения масс тел воспользуемся законом сохранения импульса.

Направим ось координат $Ox$ по направлению начальной скорости первого тела $\vec{v_1}$. Так как тела движутся навстречу друг другу, проекция скорости второго тела на эту ось будет отрицательной. Направление общей скорости после удара совпадает с направлением скорости первого тела, поэтому ее проекция будет положительной.

Закон сохранения импульса в проекции на ось $Ox$ имеет вид:
$m_1 v_1 - m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v$

Выразим из этого уравнения отношение масс $\frac{m_1}{m_2}$.
$m_1 v_1 - m_1 v = m_2 v_2 + m_2 v$
$m_1 (v_1 - v) = m_2 (v_2 + v)$
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{v_2 + v}{v_1 - v}$

Подставим числовые значения:
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{4,0 \, \text{м/с} + 1,0 \, \text{м/с}}{2,0 \, \text{м/с} - 1,0 \, \text{м/с}} = \frac{5,0}{1,0} = 5$

Таким образом, масса первого тела в 5 раз больше массы второго тела.

Формулировка вопроса "Во сколько раз n кинетическая энергия первого тела после удара больше кинетической энергии второго тела?" является неоднозначной. После абсолютно неупругого удара тела составляют единое целое, и говорить о кинетической энергии каждого тела в отдельности некорректно. Наиболее вероятным является предположение, что в вопросе допущена опечатка, и требуется найти отношение кинетических энергий первого и второго тел до удара.

Найдем отношение начальных кинетических энергий тел:
$n = \frac{K_1}{K_2} = \frac{\frac{1}{2} m_1 v_1^2}{\frac{1}{2} m_2 v_2^2} = \frac{m_1}{m_2} \cdot \left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2$

Подставим в эту формулу найденное отношение масс и заданные скорости:
$n = 5 \cdot \left(\frac{2,0 \, \text{м/с}}{4,0 \, \text{м/с}}\right)^2 = 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 5 \cdot \frac{1}{4} = 1,25$

Ответ: в 1,25 раза.