Номер 575, страница 105 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

Масса первого тела: $m_1 = m_0$

Масса второго тела: $m_2 = 12m_0$

Начальная скорость второго тела: $v_2 = 0$ (неподвижное тело)

Столкновение является центральным и упругим.

(Перевод в систему СИ не требуется, так как искомая величина является безразмерным отношением, и все единицы измерения сократятся)

Найти:

$n$ - отношение начальной кинетической энергии первого тела к его конечной кинетической энергии.

Решение

При упругом центральном столкновении выполняются два закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

1. Закон сохранения импульса в проекции на ось, вдоль которой происходит движение:

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v'_1 + m_2 v'_2$

Поскольку второе тело было неподвижно ($v_2 = 0$), уравнение принимает вид:

$m_1 v_1 = m_1 v'_1 + m_2 v'_2$ (1)

2. Закон сохранения кинетической энергии:

$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m_1 (v'_1)^2}{2} + \frac{m_2 (v'_2)^2}{2}$

С учетом того, что $v_2 = 0$:

$\frac{m_1 v_1^2}{2} = \frac{m_1 (v'_1)^2}{2} + \frac{m_2 (v'_2)^2}{2}$

$m_1 v_1^2 = m_1 (v'_1)^2 + m_2 (v'_2)^2$ (2)

Решая систему уравнений (1) и (2) относительно скоростей после удара ($v'_1$ и $v'_2$), можно получить формулу для скорости первого тела после столкновения:

$v'_1 = v_1 \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}$

Подставим в эту формулу данные из условия задачи:

$v'_1 = v_1 \frac{m_0 - 12m_0}{m_0 + 12m_0} = v_1 \frac{-11m_0}{13m_0} = -\frac{11}{13}v_1$

Знак минус означает, что после столкновения первое тело будет двигаться в противоположном направлении.

Теперь найдем, во сколько раз уменьшилась кинетическая энергия первого тела. Для этого нужно найти отношение его начальной кинетической энергии ($K_1$) к конечной ($K'_1$).

Начальная кинетическая энергия первого тела:

$K_1 = \frac{m_1 v_1^2}{2} = \frac{m_0 v_1^2}{2}$

Конечная кинетическая энергия первого тела:

$K'_1 = \frac{m_1 (v'_1)^2}{2} = \frac{m_0}{2} \left(-\frac{11}{13}v_1\right)^2 = \frac{m_0 v_1^2}{2} \cdot \left(\frac{11}{13}\right)^2 = \frac{m_0 v_1^2}{2} \cdot \frac{121}{169}$

Найдем искомое отношение $n$:

$n = \frac{K_1}{K'_1} = \frac{\frac{m_0 v_1^2}{2}}{\frac{m_0 v_1^2}{2} \cdot \frac{121}{169}} = \frac{1}{\frac{121}{169}} = \frac{169}{121}$

Ответ: Кинетическая энергия первого тела при ударе уменьшится в $n = \frac{169}{121}$ раз (приблизительно в 1.4 раза).