Номер 580, страница 106 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m = 0,25$ кг
$k = 0,10 \frac{кН}{м} = 0,10 \cdot 10^3 \frac{Н}{м} = 100 \frac{Н}{м}$
$\mu = 0,40$
$F = 3,0$ Н
$g \approx 10 \frac{м}{с^2}$

Найти:

$\Delta l$ - ?

Решение:

Максимальная деформация пружины будет достигнута в тот момент, когда скорость бруска станет равной нулю. Брусок начинает движение из состояния покоя, следовательно, его начальная кинетическая энергия равна нулю. В точке максимальной деформации он на мгновение останавливается, и его конечная кинетическая энергия также равна нулю. Таким образом, изменение кинетической энергии бруска за время движения до точки максимальной деформации равно нулю: $\Delta E_k = 0$.

Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии, согласно которой работа всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии:

$A_{общ} = \Delta E_k$

Поскольку $\Delta E_k = 0$, то и суммарная работа всех сил $A_{общ}$ равна нулю. Найдем работы сил, действующих на брусок вдоль горизонтальной оси при его перемещении на расстояние, равное максимальной деформации $\Delta l$.

1. Работа внешней силы $F$. Сила $F$ постоянна и направлена в сторону движения. Ее работа положительна: $A_F = F \cdot \Delta l$.

2. Работа силы упругости пружины $F_{упр}$. Сила упругости направлена против сжатия (т.е. против движения) и возрастает по мере деформации. Ее работа отрицательна и равна изменению потенциальной энергии пружины со знаком минус: $A_{упр} = - \frac{k (\Delta l)^2}{2}$.

3. Работа силы трения скольжения $F_{тр}$. Сила трения направлена против движения, ее работа отрицательна: $A_{тр} = -F_{тр} \cdot \Delta l$. Модуль силы трения скольжения равен $F_{тр} = \mu N$. На горизонтальной поверхности сила нормальной реакции $N$ равна силе тяжести $mg$, поэтому $F_{тр} = \mu mg$.

Приравняем сумму работ к нулю:

$A_F + A_{упр} + A_{тр} = 0$

$F \cdot \Delta l - \frac{k (\Delta l)^2}{2} - \mu mg \cdot \Delta l = 0$

Мы ищем ненулевое значение $\Delta l$, поэтому можем разделить все уравнение на $\Delta l$:

$F - \frac{k \Delta l}{2} - \mu mg = 0$

Выразим из этого уравнения искомую деформацию $\Delta l$:

$\frac{k \Delta l}{2} = F - \mu mg$

$\Delta l = \frac{2(F - \mu mg)}{k}$

Произведем вычисления, подставив числовые значения:

$F_{тр} = \mu mg = 0,40 \cdot 0,25 \text{ кг} \cdot 10 \frac{м}{с^2} = 1,0 \text{ Н}$

Так как $F = 3,0$ Н, а максимальная сила трения покоя (равная силе трения скольжения) составляет 1,0 Н, то $F > F_{тр}$, и брусок начнет движение.

$\Delta l = \frac{2(3,0 \text{ Н} - 1,0 \text{ Н})}{100 \frac{Н}{м}} = \frac{2 \cdot 2,0 \text{ Н}}{100 \frac{Н}{м}} = \frac{4,0}{100} \text{ м} = 0,04 \text{ м}$

Ответ: максимальная деформация пружины $\Delta l = 0,04$ м (или 4 см).