Номер 574, страница 105 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Удар центральный, упругий

$v_2 = 0$ (второе тело неподвижно)

$k = \frac{|v_1|}{|u_1|} = 1,5$ (модуль скорости первого тела уменьшился в k раз)

$E_{к1} = 1,0$ кДж

Перевод в СИ:

$E_{к1} = 1,0 \cdot 10^3$ Дж

Найти:

$\frac{m_1}{m_2}$ - ?

$E_{к2}$ - ?

Решение:

При центральном упругом ударе движущегося тела о неподвижное выполняются законы сохранения импульса и кинетической энергии. Скорости тел после столкновения ($u_1$ и $u_2$) можно выразить через скорость первого тела до столкновения ($v_1$) и массы тел ($m_1$ и $m_2$):

$u_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1$

$u_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} v_1$

Каким должно быть отношение $\frac{m_1}{m_2}$ масс тел, чтобы при центральном упругом ударе модуль скорости первого тела уменьшился в k = 1,5 раза?

Согласно условию задачи, $|u_1| = \frac{|v_1|}{k}$. Подставим в это соотношение формулу для $u_1$:

$|\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1| = \frac{|v_1|}{k}$

Сократив на $|v_1|$ (поскольку $v_1 \ne 0$), получаем:

$|\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}| = \frac{1}{k}$

Раскрытие модуля дает два возможных случая:

1. Первое тело продолжает движение в том же направлении ($m_1 > m_2$):

$\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} = \frac{1}{k}$

$k(m_1 - m_2) = m_1 + m_2$

$km_1 - m_1 = km_2 + m_2$

$m_1(k - 1) = m_2(k + 1)$

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{k + 1}{k - 1}$

Подставляя $k=1,5$:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{1,5 + 1}{1,5 - 1} = \frac{2,5}{0,5} = 5$

2. Первое тело отскакивает и движется в обратном направлении ($m_1 < m_2$):

$\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} = -\frac{1}{k}$

$-k(m_1 - m_2) = m_1 + m_2$

$-km_1 + km_2 = m_1 + m_2$

$m_2(k - 1) = m_1(k + 1)$

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{k - 1}{k + 1}$

Подставляя $k=1,5$:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{1,5 - 1}{1,5 + 1} = \frac{0,5}{2,5} = 0,2$

Ответ: Отношение масс $\frac{m_1}{m_2}$ может быть равно 5 или 0,2.

С какой кинетической энергией $E_{к2}$ начнет двигаться при этом второе тело, если кинетическая энергия первого тела перед ударом $E_{к1} = 1,0$ кДж?

По закону сохранения энергии, начальная кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий тел после удара:

$E_{к1} = E_{к1}' + E_{к2}$

где $E_{к1}'$ — кинетическая энергия первого тела после удара. Отсюда, $E_{к2} = E_{к1} - E_{к1}'$.

Начальная кинетическая энергия первого тела: $E_{к1} = \frac{m_1 v_1^2}{2}$.

Конечная кинетическая энергия первого тела: $E_{к1}' = \frac{m_1 u_1^2}{2}$.

Из условия $|u_1| = \frac{|v_1|}{k}$, следует, что $u_1^2 = \frac{v_1^2}{k^2}$.

Тогда связь между конечной и начальной кинетической энергией первого тела:

$E_{к1}' = \frac{m_1 (v_1^2/k^2)}{2} = \frac{1}{k^2} (\frac{m_1 v_1^2}{2}) = \frac{E_{к1}}{k^2}$

Теперь можем найти $E_{к2}$:

$E_{к2} = E_{к1} - \frac{E_{к1}}{k^2} = E_{к1}(1 - \frac{1}{k^2})$

Подставим числовые значения:

$E_{к2} = 1,0 \text{ кДж} \cdot (1 - \frac{1}{1,5^2}) = 1,0 \text{ кДж} \cdot (1 - \frac{1}{2,25}) = 1,0 \text{ кДж} \cdot (1 - \frac{4}{9}) = 1,0 \text{ кДж} \cdot \frac{5}{9}$

$E_{к2} \approx 0,556$ кДж.

Округлим результат до двух значащих цифр, так как исходные данные ($1,0$ кДж и $1,5$) имеют по две значащие цифры.

$E_{к2} \approx 0,56$ кДж.

Ответ: $E_{к2} \approx 0,56$ кДж.