Номер 570, страница 104 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Отношение масс пластилиновых шариков: $ \frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{3} $

Длины нитей одинаковы: $ l_1 = l_2 = l $

Шарики разводят симметрично на одинаковую высоту $h$.

Столкновение абсолютно неупругое.

Найти:

Часть механической энергии, перешедшей во внутреннюю: $n$

Решение:

Так как шарики подвешены на нитях одинаковой длины и их разводят симметрично, то в начальный момент времени они находятся на одинаковой высоте $h$ относительно положения равновесия. Полная механическая энергия системы в этот момент равна сумме их потенциальных энергий:

$ E_{полн} = m_1gh + m_2gh = (m_1 + m_2)gh $

По закону сохранения энергии, в момент перед столкновением вся потенциальная энергия перейдет в кинетическую. Скорости шариков будут одинаковы по модулю, так как они падают с одной и той же высоты $h$. Из $mgh = \frac{1}{2}mv^2$ следует, что скорость каждого шарика перед ударом равна $v = \sqrt{2gh}$.

Суммарная кинетическая энергия системы непосредственно перед столкновением равна начальной полной механической энергии:

$ E_к = \frac{1}{2}m_1v^2 + \frac{1}{2}m_2v^2 = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2 $

Поскольку шарики пластилиновые, их столкновение является абсолютно неупругим. Это означает, что после столкновения они слипаются и движутся как единое целое. Для процесса столкновения выполняется закон сохранения импульса. Направим ось OX по направлению движения первого шарика. Тогда импульс системы до столкновения равен:

$ P_{до} = m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v + m_2(-v) = (m_1 - m_2)v $

После столкновения шарики движутся вместе со скоростью $u$. Импульс системы после столкновения:

$ P_{после} = (m_1 + m_2)u $

Приравнивая импульсы до и после столкновения ($P_{до} = P_{после}$):

$ (m_1 - m_2)v = (m_1 + m_2)u $

Отсюда находим скорость шариков после столкновения:

$ u = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v $

Кинетическая энергия системы после столкновения:

$ E_{к'} = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)u^2 = \frac{1}{2}(m_1 + m_2) \left(\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v\right)^2 = \frac{(m_1 - m_2)^2}{2(m_1 + m_2)}v^2 $

Количество энергии, перешедшей во внутреннюю, равно потере кинетической энергии системы в результате неупругого удара:

$ \Delta E = E_к - E_{к'} = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2 - \frac{(m_1 - m_2)^2}{2(m_1 + m_2)}v^2 $

$ \Delta E = \frac{v^2}{2(m_1 + m_2)} \left[(m_1 + m_2)^2 - (m_1 - m_2)^2\right] $

Применяя формулу разности квадратов $(a^2 - b^2) = (a-b)(a+b)$, где $a = m_1 + m_2$ и $b = m_1 - m_2$, получаем:

$ (m_1 + m_2)^2 - (m_1 - m_2)^2 = (2m_2)(2m_1) = 4m_1m_2 $

Тогда потеря энергии равна:

$ \Delta E = \frac{v^2}{2(m_1 + m_2)} (4m_1m_2) = \frac{2m_1m_2v^2}{m_1 + m_2} $

Искомая часть $n$ — это отношение потерянной энергии к начальной полной энергии:

$ n = \frac{\Delta E}{E_к} = \frac{\frac{2m_1m_2v^2}{m_1 + m_2}}{\frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2} = \frac{4m_1m_2}{(m_1 + m_2)^2} $

Из условия задачи $ \frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{3} $, откуда $ m_2 = 3m_1 $. Подставим это соотношение в формулу для $n$:

$ n = \frac{4m_1(3m_1)}{(m_1 + 3m_1)^2} = \frac{12m_1^2}{(4m_1)^2} = \frac{12m_1^2}{16m_1^2} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} $

Ответ: $n = \frac{3}{4}$ или 0,75.